▋題目敘述
甲身上有50元，乙身上有30元，今兩人以投公正硬幣為賭，
若得正面，甲給乙1元，若得反面，乙給甲1元，依此繼續進行，
直到一方輸光為止，則最後甲輸光之機率為何？
▋釐清問題
甲有 50 元，乙有 30 元，兩人透過拋公平硬幣來賭錢。
若出現正面，甲給乙 1 元；若出現反面，乙給甲 1 元。
這個遊戲會一直進行下去，直到一方的錢變成 0 為止。
這是一個隨機試驗，每一步的輸贏都有機率\(\frac{1}{2}\)
且資金總和 \(50+30=80\)是固定的。
學生提問：「如果正面、反面輪流出現，那不是永遠玩不完嗎？」
的確，如果一直是正反交替，甲和乙的錢就會來來回回，
遊戲看起來會無止盡地進行下去。
但我們來想兩件事：
首先，這場賭局的總資金是固定的（80 元），
而且每次只有一塊錢轉移。
當甲的資金變成 0 元，或變成 80 元時，遊戲就會結束。
這兩個情況就是所謂的「吸收狀態」，一旦達到，就不會再變動。
只要我們一直賭下去，雖然可能會拖很久，
但最終一定會有人輸光，
再來，我們在這題中要關心的不是「玩多久」，
而是：「甲最後輸光的機率是多少？」
你可以把這個過程想成一個人站在 0 到 80 的樓梯上，
每次隨機往上或往下一階。
只要時間夠長，這個人最終一定會走到樓梯的最上端（乙輸光）或最下端（甲輸光）。
我們的目標，就是找出他最後走到樓梯最下端的機率。
▋我應該怎麼做？
第一步：設定狀態與總金額
▸甲和乙一共有 80 元。
▸遊戲進行中，我們只要追蹤「甲手上有幾元」即可。
所以我們可以設：
\(X\)：甲目前手上的金額（變數）
初始狀態：\(X=50\)
終止條件：
\(X = 0\)：甲輸光
\(X = 80\)：乙輸光
第二步：使用賭徒破產的機率公式
這是一個「公平賭局」（正反面機率都是 \(\frac{1}{2}\))，
那麼甲輸光的機率就是乙的初始金額佔全部金額的比例：$$\frac{30}{80}=\frac{3}{8}$$
那麼乙輸光的機率就是\(\frac{5}{8}\)
直觀來看，這是合理的：初始金額多的人輸的機率較低。
🔄 為什麼可以這樣算？
🎲 賭徒破產問題：問題設定
一個人開始時有 \(a\) 元
對手有 \(b\) 元
每次賭博，贏的機率是 \(p\)，輸的機率是 \(q=1−p\)
每次贏 / 輸 1 元
若任一方破產（即剩 0 元），遊戲結束
問：這個人最終破產的機率是？
令 \(P_n\)：代表賭徒目前擁有 \(n\) 元時，最終破產的機率
目標是求 \(P_a\)：即一開始擁有 \(a\) 元時的破產機率
📌 邊界條件（Boundary conditions）：
\(P_0 = 1\)：若一開始就沒錢，已破產，機率是 1
\(P_{a+b} = 0\)：若贏到把對手的錢都拿來（即達到 \(a+b\) 元），
代表永不會破產 ⇒ 機率為 0
🔁 狀態轉移（遞迴式）
當賭徒目前有 \(n\) 元時：
下一次可能有兩種情況：
贏1元 ⇒ 成為 \(n+1\) 元（機率為 \(p\)）
輸1元 ⇒ 成為 \(n−1\) 元（機率為 \(q\)）
此時遞迴式變成：$$P_n = \frac{1}{2} P_{n+1} + \frac{1}{2} P_{n-1}$$
等號兩邊同乘以 \(2\)得 $$2P_n = P_{n+1}+P_{n−1}$$
這是線性差分方程，解法如下：
通解為：\(P_n = An + B\)
帶入邊界條件：$$ P_0 = 1 ⇒ B=1 $$
另外，$$P_{a+b} = 0 ⇒ A(a+b)+1 = 0 ⇒ A = -\frac{1}{a+b} $$
所以 $$P_n = 1 – \frac{n}{a+b} $$
特別地，若一開始有\(a\) 元：$$P_a = 1 – \frac{a}{a+b} = \frac{b}{a+b} $$
謝謝老師用心解答我的疑問!
不客氣喔！