八年級上學期,學生要進入到根號的世界。

也就是對於數字的概念,將由有理數擴張至無理數。

介紹完根號後,緊接著,畢氏定理登場。

畢氏定理,又稱為「畢達哥拉斯定理」、「勾股定理」、「商高定理」,
是在描述直角三角形三邊長的關係:兩股平方和=斜邊長的平方。

如下圖所示,假設此直角三角形的兩股長分別為 xy,斜邊長為 z,則x^2+y^2=z^2

這個定理清晰易懂,神奇的是,文獻記載,竟然有三百多種證明方式。

不急著證明,先想想,有哪些直角三角形,其三邊長為正整數呢?

最常見的有:(3,4,5);(5,12,13);(7,24,25);(8,15,17);(9,40,41)、…還有很多。
此稱為畢氏數。

但是有一些成比例的就先不考慮了,例如:(6,8,10);(9,12,15);(10,24,26)、…這類的。
以倍數產生的畢氏數很無聊對吧!

因此,我們要專注在三數互質的畢氏數。也就是說,(x,y,z)=1 且滿足 x^2+y^2=z^2


我們將這樣的畢氏數稱為原始的畢氏數(Primitive Pythagorean triples)。

但是優秀的你一定不滿足於此,必定想知道到底有沒有一個原始畢氏數的通解?
然後我們可以用這個通解找到千千萬萬的原始畢氏數!

跟你說答案之前,我們先來觀察一下,對於原始的畢氏數 x,y,z 滿足x^2+y^2=z^2

xy 必定一個為奇數、另一個為偶數對吧!

為什麼呢?不妨簡單論證一下:如果 x,y 皆為偶數,則 z 必定為偶數,因此 x,y,z 不可能互質。

如果 x,y 皆為奇數,那麼 z 必定是偶數。這會造成 x^2+y^24 除餘 2z^24 整除。

以同餘的符號來寫會更清楚 x^2+y^2 \equiv 2 \ mod \ 4, z^2 \equiv 0 \ mod \ 4


因此造成矛盾。

既然如此,不失一般性,可以假設 y 為偶數。

直接公佈答案:此原始畢氏數的通解可表示為
\begin{aligned} x &= m^2-n^2 \\ y &= 2mn \\ z &= m^2+n^2 \end{aligned}

其中 m, n 為正整數,且 m>n(m,n)=1,且必定為一奇一偶。

證明這個通解之前,先帶幾組數字試試:

(a) m=2n=1(x,y,z)=(3,4,5)
(b) m=3n=2(x,y,z)=(5,12,13)

來點不一樣的吧:
(c) m=57n=34(x,y,z)=(2093,3876,4405)
我保證你一定從來沒看過這組畢氏數。

是不是有慢慢感受到數學的威力了呢?

接著進行這篇文章的重點:這個通解是怎麼寫出來的?

我們朝兩個方向論證:

首先,如果有一組正整數 x,y,z 滿足 x^2+y^2=z^2, \ (x,y,z)=1 \tag{1}

其中 y 是偶數、x, z 是奇數。

那麼很容易看出來 (x,y)=(y,z)=(z,x)=1。(如果你看不出來,可以用反證法試試)

可以將第 (1) 式移項一下:y^2=z^2-x^2=(z+x)(z-x)

等號兩邊同除以 4 可得:(\frac{y}{2})^2 = (\frac{z+x}{2})\times (\frac{z-x}{2}) \tag{2}

要留意,\frac{z+x}{2}\frac{z-x}{2} 兩數互質。為什麼?

同學可以自己練習證明看看,再繼續往下閱讀。

公佈答案,令 \frac{z+x}{2}\frac{z-x}{2} 的最大公因數為 d

那麼 d \mid \frac{z+x}{2}, \ d \mid \frac{z-x}{2}

d \mid \frac{z+x}{2}+\frac{z-x}{2} \ 且 \ \ d \mid \frac{z+x}{2} – \frac{z-x}{2}
整理可得 d \mid z \ \ 且 d \mid x
因為 x, z 互質,所以 d=1

既然如此,重回第 (2) 式可看出,\frac{z+x}{2}\frac{z-x}{2} 是完全平方數!

也就是說,存在兩個正整數 m, n 滿足 \frac{z+x}{2}=m^2, \ \frac{z-x}{2}=n^2

因此 m>n>0, (m,n)=1 m^2-n^2=x,\ 2mn=y, \ m^2+n^2=z

前面已經證明過 m, n 兩數互質,所以此兩數必定1偶1奇或2奇。

如果 m, n 皆為奇數,則 x, y, z 皆為偶數,此與上述 x, z 互質矛盾。

所以沒有其他選擇了,m, n 必定為1奇1偶。

至此,我們已經證明了畢氏數的通解必定呈現出來的形式。

還沒結束

另一方面,如果給定了兩個正整數 m, n,令 x=m^2-n^2, \ y=2mn, \ z=m^2+n^2

m, n11 偶且互質的兩數。 那麼要驗證 (x,y,z) 是原始的畢氏數。我們分兩步驟進行:

步驟1:(x,y,z) 是畢氏數
\begin{aligned} x^2+y^2 &= (m^2-n^2)^2+(2mn)^2 \\ &= m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2 \\ &= m^4+2m^2n^2+n^4 = (m^2+n^2)^2 = z^2 \end{aligned}

步驟2:(x,y,z)=1

(x,y,z)=d,則 d\mid m^2-n^2\ , d \mid 2mn\ , d \mid m^2+n^2

因為 m, n11 偶,所以 x, z 皆為奇數。

那麼,d 必定是一個奇數。

我們來排除 d>1 的情況:

對於任何大於 1 的奇數 d,存在一個奇質數 p 將其整除。

用符號表示就是 p \mid d,因此 p \mid xp \mid z 進而可知 p | z+xp | z-x

因為 z+x=2m^2z-x=2n^2,所以 p\mid 2m^2, \ p\mid 2n^2

既然 p 是奇數,那麼 p \mid m^2p \mid n^2
此將導致 p \mid mp \mid n,也就是 m, n 兩數不互質,造成矛盾。

因此 d=1

看到這裡,希望你的腦袋還沒打結…。

畢氏定理還有很多故事可以說,但為了讓同學好吸收,
這篇文章就先寫到這邊,我們下篇文章見囉!

如果文章有繆誤,歡迎私訊告訴我,感謝!

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