八年級上學期,學生要進入到根號的世界。
也就是對於數字的概念,將由有理數擴張至無理數。
介紹完根號後,緊接著,畢氏定理登場。
畢氏定理,又稱為「畢達哥拉斯定理」、「勾股定理」、「商高定理」,
是在描述直角三角形三邊長的關係:兩股平方和=斜邊長的平方。
如下圖所示,假設此直角三角形的兩股長分別為 x 與 y,斜邊長為 z,則x^2+y^2=z^2

這個定理清晰易懂,神奇的是,文獻記載,竟然有三百多種證明方式。
不急著證明,先想想,有哪些直角三角形,其三邊長為正整數呢?
最常見的有:(3,4,5);(5,12,13);(7,24,25);(8,15,17);(9,40,41)、…還有很多。
此稱為畢氏數。
但是有一些成比例的就先不考慮了,例如:(6,8,10);(9,12,15);(10,24,26)、…這類的。
以倍數產生的畢氏數很無聊對吧!
因此,我們要專注在三數互質的畢氏數。也就是說,(x,y,z)=1 且滿足 x^2+y^2=z^2
我們將這樣的畢氏數稱為原始的畢氏數(Primitive Pythagorean triples)。
但是優秀的你一定不滿足於此,必定想知道到底有沒有一個原始畢氏數的通解?
然後我們可以用這個通解找到千千萬萬的原始畢氏數!
跟你說答案之前,我們先來觀察一下,對於原始的畢氏數 x,y,z 滿足x^2+y^2=z^2
為什麼呢?不妨簡單論證一下:如果 x,y 皆為偶數,則 z 必定為偶數,因此 x,y,z 不可能互質。
如果 x,y 皆為奇數,那麼 z 必定是偶數。這會造成 x^2+y^2 被 4 除餘 2,z^2 被 4 整除。
以同餘的符號來寫會更清楚 x^2+y^2 \equiv 2 \ mod \ 4, z^2 \equiv 0 \ mod \ 4
因此造成矛盾。
既然如此,不失一般性,可以假設 y 為偶數。
直接公佈答案:此原始畢氏數的通解可表示為
\begin{aligned} x &= m^2-n^2 \\ y &= 2mn \\ z &= m^2+n^2 \end{aligned}
證明這個通解之前,先帶幾組數字試試:
(a) m=2、n=1:(x,y,z)=(3,4,5)
(b) m=3、n=2:(x,y,z)=(5,12,13)
來點不一樣的吧:
(c) m=57、n=34:(x,y,z)=(2093,3876,4405)
我保證你一定從來沒看過這組畢氏數。
是不是有慢慢感受到數學的威力了呢?
接著進行這篇文章的重點:這個通解是怎麼寫出來的?
我們朝兩個方向論證:
首先,如果有一組正整數 x,y,z 滿足 x^2+y^2=z^2, \ (x,y,z)=1 \tag{1}
那麼很容易看出來 (x,y)=(y,z)=(z,x)=1。(如果你看不出來,可以用反證法試試)
可以將第 (1) 式移項一下:y^2=z^2-x^2=(z+x)(z-x)
要留意,\frac{z+x}{2} 與 \frac{z-x}{2} 兩數互質。為什麼?
同學可以自己練習證明看看,再繼續往下閱讀。
公佈答案,令 \frac{z+x}{2} 與 \frac{z-x}{2} 的最大公因數為 d,
那麼 d \mid \frac{z+x}{2}, \ d \mid \frac{z-x}{2}
既然如此,重回第 (2) 式可看出,\frac{z+x}{2} 及 \frac{z-x}{2} 是完全平方數!
也就是說,存在兩個正整數 m, n 滿足 \frac{z+x}{2}=m^2, \ \frac{z-x}{2}=n^2
因此 m>n>0, (m,n)=1 m^2-n^2=x,\ 2mn=y, \ m^2+n^2=z
前面已經證明過 m, n 兩數互質,所以此兩數必定1偶1奇或2奇。
如果 m, n 皆為奇數,則 x, y, z 皆為偶數,此與上述 x, z 互質矛盾。
所以沒有其他選擇了,m, n 必定為1奇1偶。
至此,我們已經證明了畢氏數的通解必定呈現出來的形式。
還沒結束
另一方面,如果給定了兩個正整數 m, n,令 x=m^2-n^2, \ y=2mn, \ z=m^2+n^2
步驟1:(x,y,z) 是畢氏數
\begin{aligned} x^2+y^2 &= (m^2-n^2)^2+(2mn)^2 \\ &= m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2 \\ &= m^4+2m^2n^2+n^4 = (m^2+n^2)^2 = z^2 \end{aligned}
步驟2:(x,y,z)=1
令 (x,y,z)=d,則 d\mid m^2-n^2\ , d \mid 2mn\ , d \mid m^2+n^2
因為 m, n 為 1 奇 1 偶,所以 x, z 皆為奇數。
那麼,d 必定是一個奇數。
我們來排除 d>1 的情況:
對於任何大於 1 的奇數 d,存在一個奇質數 p 將其整除。
用符號表示就是 p \mid d,因此 p \mid x、p \mid z 進而可知 p | z+x、p | z-x
因為 z+x=2m^2 且 z-x=2n^2,所以 p\mid 2m^2, \ p\mid 2n^2。
既然 p 是奇數,那麼 p \mid m^2 且 p \mid n^2,
此將導致 p \mid m 且 p \mid n,也就是 m, n 兩數不互質,造成矛盾。
因此 d=1
看到這裡,希望你的腦袋還沒打結…。
畢氏定理還有很多故事可以說,但為了讓同學好吸收,
這篇文章就先寫到這邊,我們下篇文章見囉!
如果文章有繆誤,歡迎私訊告訴我,感謝!

No comments! Be the first commenter?