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判斷一個題目的優劣有一個重要指標，就是這一道題目是否具備多個思考面向。

一個經典例子是，畢氏定理：文獻中記載，有三百多種證明方式。

從這些證明方法，可以體現出古人思考的智慧。

還有很多這樣的例子，
例如：算幾不等式的證明、平方級數和的公式推導、…。

另外，我發現有些版本的課本後面，也有一題多解專區，
演示一道題目如何用多種方法切入解題。容易被忽略，建議同學一定要閱讀。

這一篇文章，我要介紹一道最近給學生寫的小考題，
讓讀者也可以一同參與一題多解的趣味。
你只需要具備國中與高中數學的基本知識就可以理解。

問題：考慮一個平行四邊形 $ABCD$，$E$、$F$ 分別是 $\overline{BC}$ 與 $\overline{CD}$ 的中點，
求 $\Delta AEF$ 與平行四邊形 $ABCD$ 的面積之比值。(如下圖所示)

有很多方法可以處理，先從簡單的開始吧。

方法1：考慮一個特例

考慮此平行四邊形為長方形的情形，如下圖所示：

那麼，$\Delta AEF 的面積 = 矩形ABCD的面積－\Delta ABE的面積 – \Delta CEF的面積 – \Delta ADF的面積$，故

$$\Delta AEF的面積 = ab – \frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{b}{2} – \frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{b}{2} – \frac{1}{2}\cdot b\cdot \frac{a}{2} = \frac{3}{8}\cdot ab$$ 即 $$\frac{\Delta AEF的面積}{平行四邊形ABCD的面積}=\frac{3}{8}$$

這個方法很簡單，但是不夠嚴謹。

我們要如何說明對於任何一個平行四邊形，這個比值會是固定不變的呢？

這時候我們就必須有更一般的做法。

方法2：同樣用扣除的方式處理

因為題目只是問比值，所以不用真的將面積算出來。

設平行四邊形 $ABCD$ 的面積為 $x$

顯然，

$$\Delta ABE\ 的面積 = \Delta ADF\ 的面積 = \frac{1}{4}x$$ $$\Delta CEF的面積=\frac{1}{8}x$$

因此，

$$\begin{aligned} \Delta AEF 的面積 &= 平行四邊形 ABCD的面積－\Delta ABE 的面積 – \Delta CEF 的面積 – \Delta ADF 的面積 \\ &= x – \frac{x}{4} – \frac{x}{8} – \frac{x}{4}= \frac{3}{8}x \end{aligned}$$

同樣可求出比值 $\frac{3}{8}$

方法3：使用三角函數

同方法2，但是使用三角函數表達

$$\begin{aligned} \Delta AEF\ 的面積 &= 平行四邊形 ABCD的面積－\Delta ABE 的面積 – \Delta CEF 的面積 – \Delta ADF 的面積 \\ &= ab\cdot sinB – \frac{1}{2}a\cdot\frac{b}{2}\cdot sinB – \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}\cdot sinC – \frac{1} {2}\cdot\frac{a}{2}\cdot b\cdot sinD \\ &= ab\cdot sinB – \frac{1}{4}absinB – \frac{1}{8}absinC – \frac{1}{4}absinD \\ &= (1-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}) \cdot absinB \\ &= \frac{3}{8}\cdot 平行四邊形\ ABCD\ 的面積 \end{aligned}$$

其中要注意的是，$sinC = sin(\pi-B)=sinB$，且 $sinD = sin B$

雖然寫法上比方法2複雜了一些，但卻是熟悉三角函數不錯的練習。

因為我對於高中數學的熟悉度高過於國中數學，
所以當時看到這一道題目時，第一時間想到的是這個方法。

方法4：拼接

到目前為止，我們都是用扣的，那能不能改用加的呢？

當然可以，看看下面這個圖：

將兩組對邊的中點連接形成兩條線段 $\overline{GE}$、$\overline{HF}$，設交點為 $O$，
此兩線段可以將此平行四邊形的面積四等份。

接著連接 $\overline{AO}$。

此時

$$\Delta AEF\ 的面積 = \Delta AOE\ 的面積 + \Delta AOF\ 的面積 + \Delta OEF\ 的面積 \tag{1}$$ 其中
$$\begin{aligned} \Delta AOE\ 的面積 = \frac{1}{2}\cdot 平行四邊形BHOE\ 的面積 = \frac{1}{8}\cdot 平行四邊形ABCD\ 的面積 \\ \Delta AOF\ 的面積 = \frac{1}{2}\cdot 平行四邊形DGOF\ 的面積 = \frac{1}{8}\cdot 平行四邊形ABCD\ 的面積 \\ \Delta EOF\ 的面積 = \frac{1}{2}\cdot 平行四邊形ECFO\ 的面積 = \frac{1}{8}\cdot 平行四邊形ABCD\ 的面積 \end{aligned}$$ 回到第 (1) 式可得 $$\Delta AEF\ 的面積=\frac{3}{8}\cdot 平行四邊形ABCD\ 的面積$$

這個方法直接易懂。

方法5：先加再扣

結合前面四種方法，也可以先加再扣。

如下圖，連接對角線 $\overline{AC}$，並且設平行四邊形 $ABCD$ 的面積為 $x$

$$\begin{aligned} \Delta AEF \ 的面積 &= \Delta ACE \ 的面積 + \Delta ACF \ 的面積 – \Delta CEF \ 的面積 \\ &= \frac{1}{4}x+\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}x = \frac{3}{8}x \end{aligned}$$

再動動腦筋，還有什麼解法？

遊戲才剛開始

笛卡兒教我們的，架直角座標系，可以將幾何問題轉為代數問題。

以 $A$ 點為原點，並且將 $\overline{OB}$ 置於 $x$ 軸，然後標上各頂點及線段中點的座標。

則 $\Delta OEF 的面積$ 就是由向量 $\overrightarrow{OE}$ 及 向量 $\overrightarrow{OF}$ 張出來的三角形面積。

$$\Delta OEF \ 的面積 =\frac{1}{2}\times | \begin{vmatrix} a+\frac{c}{2} & \frac{a}{2}+c \\ \frac{d}{2} & d \end{vmatrix} | = \frac{3}{8}ad = \frac{3}{8}\ 平行四邊形\ ABCD\ 的面積$$

沿續方法5，既然已經有了座標，我們就可以寫出直線 $OF$ 的方程式，
進而計算出點 $E$ 與直線 $OF$ 的距離。

方法6：直接計算三角形OEF的面積

如圖：

直線 $OF$ 的方程式為

$$\overleftrightarrow{OF}:dx-(\frac{a}{2}+c)y=0$$ 則
$$d(E, \overleftrightarrow{OF}) = \frac{|d\cdot(a+\frac{c}{2})-(\frac{a}{2}+c)\cdot\frac{d}{2}|}{\sqrt{d^2+(\frac{a}{2}+c)^2}}=\frac{\frac{3}{4}ad}{\overline{OF}}$$ 則 $$\Delta OEF\ 的面積 = \frac{1}{2}\cdot \overline{OF}\cdot \frac{\frac{3}{4}ad}{\overline{OF}}=\frac{3}{8}ad$$ 故
$$\frac{\Delta OEF\ 的面積}{平行四邊形OBCD\ 的面積}=\frac{3}{8}$$

方法7：使用外積的寫法亦可

如圖所示：

設

$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}\ 且 \ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{OC}$$ 則
$$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{OF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$
$$\begin{aligned} \Delta OEF\ 的面積 &= \frac{1}{2}|\overrightarrow{OE}\times\overrightarrow{OF}| \\ &=\frac{1}{2}|(\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b})\times(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})|\\ &=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}|\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|\\ &=\frac{3}{8}|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}| = \frac{3}{8}平行四邊形\ OABC\ 的面積 \end{aligned}$$

方法8：線性轉換的觀點

回到方法1，我們考慮了特例：長方形的情況。

處理長方形的面積問題肯定會比一般的平行四邊形簡單。

因此，可以考慮一個線性變換 $T$，將長方形映射至原問題的平行四邊形，如下圖所示：

那麼，

$$\begin{aligned} \frac{\Delta AEF\ 面積}{平行四邊形ABCD\ 面積}&= \frac{|detT|\Delta A_1E_1F_1\ 面積}{|detT|\ 平行四邊形A_1B_1C_1D_1\ 面積}\\ &= \frac{3}{8} \end{aligned}$$

是否還有其他方法，一定還有，就看你的創意與智慧了。

這篇文章就先寫到這邊，祝學習愉快。

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