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學習數學有何用處？
有很多，其中之一是，「活化思考、提升效率」。
有人說數學家很懶，這句話是對的，也不對。
的確，數學家總是會想出一些方式，讓工作輕鬆。
然而，他們在思考方法的過程，卻也異常辛苦。
你是否聽過韓信點兵的故事？
韓信，大約是公元前231年－公元前196年的人物，漢高祖劉邦的得力將領。
歷史上著名的軍事家和謀略家。
他在楚漢戰爭中為劉邦建立漢朝立下了汗馬功勞，被譽為「漢初三傑」之一。
韓信在指揮作戰方面有卓越的才能，特別擅長用兵，常常出奇制勝，為後人所傳頌。
我認為，他可能也有數學家的潛質在裡面。
傳說有一次，韓信被要求點清全軍的士兵數量，但士兵數量龐大，難以直接點清。
怎麼辦？
慢慢數，太沒效率了！
韓信便運用了巧妙的數學方法，利用士兵們的排列順序和餘數來計算總數。
如果我們已經知道，士兵人數介於 900 \sim 1000 人之間。
當然實際人數不會這麼少，你可以再乘以100。這邊為了方便說明起見，先做此假設。
韓信將士兵分成若干小隊，每隊分別以不同的方式排列，
然後記錄每種排列方式下剩餘的士兵數量。具體過程如下：
三人一排： 韓信先將士兵三人一排地排列，記下剩餘的士兵數量。
五人一排： 然後，他將士兵五人一排地排列，再次記下剩餘的士兵數量。
七人一排： 最後，他將士兵七人一排地排列，記下剩餘的士兵數量。
根據這些排列後剩餘的士兵數量，韓信利用數學計算，得出了士兵的總數。
用現代的符號來寫，假設士兵人數有 x 人，則
\begin{cases} x\equiv 2 \ \ (mod\ 3) \\ x\equiv 3 \ \ (mod\ 5) \\ x\equiv 2 \ \ (mod\ 7) \end{cases}
相信解這道題，同學不會有太大的困難，我們再來複習一下：令 x=3a+2=5b+3=7c+2 其中 a,b,c 為整數。
接著兩個兩個式子處理：因為 x=3a+2 = 5b+3，所以 x=15d+8。
也就是說，先找出 3,5 的最小公倍數，再找出「被3除餘2」且「被5除餘3」的最小正整數。
比較好的做法是，先列出被5除餘3的正整數，然後再從這些正整數中找到被3除餘2的數字。
很快地，就能找到這個數為 8。
接著由 x=15d+8 及 x=7c+2，找到同時「被15除餘8」及「被7除餘2」的正整數。
同樣地，先求 15 與 7 的最小公倍數 105。
然後最出幾個被15除餘8的正整數：8、23、38、…
再從這些正整數中，找到被7除餘2的正整數。
找到了，這個數就是23。
因此寫出通解為 x=105e+23
因為人數介於 900 \sim 1000 人之間，由通解可推得為 968 人。
這個方法還不錯，但是不容易推廣，也就是說，如果有 n 個方程式，要如何處理？
\begin{cases} x \equiv b_1 \ \ (mod \ m_1) \\ x \equiv b_2 \ \ (mod \ m_2) \\ x \equiv b_3 \ \ (mod \ m_3) \\ \ \ \ \ \ \vdots \\ x\equiv b_n \ \ (mod \ m_n) \end{cases}
其中 b_1,b_2,…,b_n 為正整數，m_1,m_2,…,m_n 為兩兩互質的正整數。
我們先看兩個方程式的情形
\begin{cases} x \equiv b_1 \ \ (mod \ m_1) \\ x \equiv b_2 \ \ (mod \ m_2) \end{cases}
因為現在是以符號呈現，所以似乎也沒辦法用上述的做法。
但是我們知道，最後是 mod m_1\cdot m_2
先說答案吧，這個解的形式會是 x=b_1m_2x_1+b_2m_1x_2 其中 x_1, x_2 分別為方程式 m_2x_1\equiv 1 \ (mod \ m_1) 及 m_1x_2\equiv \ 1 \ (mod \ m_2) 的解。
並且可以驗證，這個方程式存在唯一解 x\equiv b_1m_2x_1+b_2m_1x_2 \ (mod \ m_1m_2)
可以輕易看出來，這的確是方程式的解。接著我們來驗證解的唯一性：
設有另一解 x’\equiv b_i \ (mod \ m_i)，其中 i=1,2
因為 x\equiv b_i \ (mod \ m_i)，所以 x\equiv x’ \ (mod \ m_i)
也就是說，m_i | x-x’, i=1,2
因此 m_1m_2 | x-x’ 即 x\equiv x’ \ (mod \ m_1m_2)
有了這個方法，我們將其推廣到一般的情形：方程式
\begin{cases} x \equiv b_1 \ \ (mod \ m_1) \\ x \equiv b_2 \ \ (mod \ m_2) \\ x \equiv b_3 \ \ (mod \ m_3) \\ \ \ \ \ \ \vdots \\ x\equiv b_n \ \ (mod \ m_n) \end{cases} 存在唯一解 x=M_1b_1x_1+M_2b_2x_2+…+M_nb_nx_n \ (mod \ M)
其中 M=m_1m_2\cdots m_n 且 M_i =\frac{M}{m_i}, i=1,2,\cdots, n
並且 x_i, i=1\cdots n 是方程式 M_ix_i\equiv 1 \ (mod\ m_i) 的根。
顯然，
\begin{aligned} x &= b_1M_1x_1+b_2M_2x_2+\cdots +b_n M_nx_n \\ &\equiv 0+0+\cdots+0+b_i+0+\cdots+0 \ (mod\ m_i) \\ &\equiv b_i \ (mod\ m_i) \end{aligned}
再寫一次唯一性：
設 x’\equiv b_i \ (mod \ m_i)
因為 x\equiv b_i\ (mod \ m_i)，所以 x\equiv x’\ (mod\ m_i)
也就是說 m_i | x-x’, i=1,2,\cdots,n
因此 M|x-x’ 即 x\equiv x’\ (mod\ M)
最後，再回來看看以下方程式要怎麼解？
\begin{cases} x\equiv 2 \ \ (mod\ 3) \\ x\equiv 3 \ \ (mod\ 5) \\ x\equiv 2 \ \ (mod\ 7) \end{cases}
此方程式的解為 x\equiv M_1b_1x_1+M_2b_2x_2+M_3b_3x_3\ (mod \ 105)
其中 M_1=\frac{105}{3}=35, \ M_2=\frac{105}{5}=21, \ M_3=\frac{105}{7}=15
代入數字，解可以寫成 x\equiv 35\times 2 \times x_1+21\times 3 \times x_2 + 15\times 2 \times x_3\ (mod \ 105)
我們可以將問題轉換成解方程式
\begin{cases} 35x_1\equiv 1 \ \ (mod\ 3) \\ 21x_2\equiv 1 \ \ (mod\ 5) \\ 15x_3\equiv 1 \ \ (mod\ 7) \\ \end{cases}
解得
\begin{cases} x_1\equiv 2 \ \ (mod\ 3) \\ x_2\equiv 1 \ \ (mod\ 5) \\ x_3\equiv 1 \ \ (mod\ 7) \\ \end{cases}
最後寫出其解 x=35\times 2\times 2 + 21\times 3\times 1 + 15\times 2\times 1=233 \equiv 23 \ \ (mod \ 105)
這篇文章就先寫到這邊，同學剛好可以藉這個機會熟悉同餘的符號及同餘方程式。
祝一切順利，期末all pass，學習愉快。
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