學習數學有何用處?
有很多,其中之一是,「活化思考、提升效率」。
有人說數學家很懶,這句話是對的,也不對。
的確,數學家總是會想出一些方式,讓工作輕鬆。
然而,他們在思考方法的過程,卻也異常辛苦。
你是否聽過韓信點兵的故事?
韓信,大約是公元前231年-公元前196年的人物,漢高祖劉邦的得力將領。
歷史上著名的軍事家和謀略家。
他在楚漢戰爭中為劉邦建立漢朝立下了汗馬功勞,被譽為「漢初三傑」之一。
韓信在指揮作戰方面有卓越的才能,特別擅長用兵,常常出奇制勝,為後人所傳頌。
我認為,他可能也有數學家的潛質在裡面。
傳說有一次,韓信被要求點清全軍的士兵數量,但士兵數量龐大,難以直接點清。
怎麼辦?
慢慢數,太沒效率了!
韓信便運用了巧妙的數學方法,利用士兵們的排列順序和餘數來計算總數。
如果我們已經知道,士兵人數介於 \(900 \sim 1000\) 人之間。
當然實際人數不會這麼少,你可以再乘以100。這邊為了方便說明起見,先做此假設。
韓信將士兵分成若干小隊,每隊分別以不同的方式排列,
然後記錄每種排列方式下剩餘的士兵數量。具體過程如下:
三人一排: 韓信先將士兵三人一排地排列,記下剩餘的士兵數量。
五人一排: 然後,他將士兵五人一排地排列,再次記下剩餘的士兵數量。
七人一排: 最後,他將士兵七人一排地排列,記下剩餘的士兵數量。
根據這些排列後剩餘的士兵數量,韓信利用數學計算,得出了士兵的總數。
用現代的符號來寫,假設士兵人數有 \(x\) 人,則
\begin{cases}
x\equiv 2 \ \ (mod\ 3) \\
x\equiv 3 \ \ (mod\ 5) \\
x\equiv 2 \ \ (mod\ 7)
\end{cases}
相信解這道題,同學不會有太大的困難,我們再來複習一下:令 $$ x=3a+2=5b+3=7c+2 $$ 其中 \(a,b,c\) 為整數。
接著兩個兩個式子處理:因為 \(x=3a+2 = 5b+3\),所以 \(x=15d+8\)。
也就是說,先找出 \(3,5\) 的最小公倍數,再找出「被3除餘2」且「被5除餘3」的最小正整數。
比較好的做法是,先列出被5除餘3的正整數,然後再從這些正整數中找到被3除餘2的數字。
很快地,就能找到這個數為 \(8\)。
接著由 \(x=15d+8\) 及 \(x=7c+2\),找到同時「被15除餘8」及「被7除餘2」的正整數。
同樣地,先求 \(15\) 與 \(7\) 的最小公倍數 \(105\)。
然後最出幾個被15除餘8的正整數:8、23、38、…
再從這些正整數中,找到被7除餘2的正整數。
找到了,這個數就是23。
因此寫出通解為 $$x=105e+23$$
因為人數介於 \(900 \sim 1000\) 人之間,由通解可推得為 \(968\) 人。
這個方法還不錯,但是不容易推廣,也就是說,如果有 \(n\) 個方程式,要如何處理?
\begin{cases}
x \equiv b_1 \ \ (mod \ m_1) \\
x \equiv b_2 \ \ (mod \ m_2) \\
x \equiv b_3 \ \ (mod \ m_3) \\
\ \ \ \ \ \vdots \\
x\equiv b_n \ \ (mod \ m_n)
\end{cases}
其中 \(b_1,b_2,…,b_n\) 為正整數,\(m_1,m_2,…,m_n\) 為兩兩互質的正整數。
我們先看兩個方程式的情形
\begin{cases}
x \equiv b_1 \ \ (mod \ m_1) \\
x \equiv b_2 \ \ (mod \ m_2)
\end{cases}
因為現在是以符號呈現,所以似乎也沒辦法用上述的做法。
但是我們知道,最後是 mod \(m_1\cdot m_2\)
先說答案吧,這個解的形式會是 $$x=b_1m_2x_1+b_2m_1x_2$$ 其中 \(x_1, x_2\) 分別為方程式 $$m_2x_1\equiv 1 \ (mod \ m_1)$$ 及 $$m_1x_2\equiv \ 1 \ (mod \ m_2)$$ 的解。
並且可以驗證,這個方程式存在唯一解 $$x\equiv b_1m_2x_1+b_2m_1x_2 \ (mod \ m_1m_2)$$
可以輕易看出來,這的確是方程式的解。接著我們來驗證解的唯一性:
設有另一解 \(x’\equiv b_i \ (mod \ m_i)\),其中 \(i=1,2\)
因為 \(x\equiv b_i \ (mod \ m_i)\),所以 \(x\equiv x’ \ (mod \ m_i)\)
也就是說,$$m_i | x-x’, i=1,2$$
因此 $$m_1m_2 | x-x’$$ 即 $$x\equiv x’ \ (mod \ m_1m_2)$$
有了這個方法,我們將其推廣到一般的情形:方程式
\begin{cases}
x \equiv b_1 \ \ (mod \ m_1) \\
x \equiv b_2 \ \ (mod \ m_2) \\
x \equiv b_3 \ \ (mod \ m_3) \\
\ \ \ \ \ \vdots \\
x\equiv b_n \ \ (mod \ m_n)
\end{cases} 存在唯一解 $$x=M_1b_1x_1+M_2b_2x_2+…+M_nb_nx_n \ (mod \ M)$$
其中 $$M=m_1m_2\cdots m_n$$ 且 $$M_i =\frac{M}{m_i}, i=1,2,\cdots, n $$
並且 \(x_i, i=1\cdots n\) 是方程式 \(M_ix_i\equiv 1 \ (mod\ m_i)\) 的根。
顯然,
$$\begin{aligned}
x &= b_1M_1x_1+b_2M_2x_2+\cdots +b_n M_nx_n \\
&\equiv 0+0+\cdots+0+b_i+0+\cdots+0 \ (mod\ m_i) \\
&\equiv b_i \ (mod\ m_i)
\end{aligned}$$
再寫一次唯一性:
設 $$x’\equiv b_i \ (mod \ m_i)$$
因為 \(x\equiv b_i\ (mod \ m_i)\),所以 \(x\equiv x’\ (mod\ m_i)\)
也就是說 $$m_i | x-x’, i=1,2,\cdots,n$$
因此 $$M|x-x’$$ 即 $$x\equiv x’\ (mod\ M)$$
最後,再回來看看以下方程式要怎麼解?
\begin{cases}
x\equiv 2 \ \ (mod\ 3) \\
x\equiv 3 \ \ (mod\ 5) \\
x\equiv 2 \ \ (mod\ 7)
\end{cases}
此方程式的解為 $$x\equiv M_1b_1x_1+M_2b_2x_2+M_3b_3x_3\ (mod \ 105)$$
其中 $$M_1=\frac{105}{3}=35, \ M_2=\frac{105}{5}=21, \ M_3=\frac{105}{7}=15$$
代入數字,解可以寫成 $$x\equiv 35\times 2 \times x_1+21\times 3 \times x_2 + 15\times 2 \times x_3\ (mod \ 105)$$
我們可以將問題轉換成解方程式
\begin{cases}
35x_1\equiv 1 \ \ (mod\ 3) \\
21x_2\equiv 1 \ \ (mod\ 5) \\
15x_3\equiv 1 \ \ (mod\ 7) \\
\end{cases}
解得
\begin{cases}
x_1\equiv 2 \ \ (mod\ 3) \\
x_2\equiv 1 \ \ (mod\ 5) \\
x_3\equiv 1 \ \ (mod\ 7) \\
\end{cases}
最後寫出其解 $$x=35\times 2\times 2 + 21\times 3\times 1 + 15\times 2\times 1=233 \equiv 23 \ \ (mod \ 105)$$
這篇文章就先寫到這邊,同學剛好可以藉這個機會熟悉同餘的符號及同餘方程式。
祝一切順利,期末all pass,學習愉快。
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