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前言

這份試題不是很好寫，計算量偏多，要取得高分不太容易。 今年試題各大題的配分與去年試卷相同。第貳部分兩大題配分一致(各有3小題)且各小題之間均有連貫性。其中比較困難的題目分別為多選第6題、選填第11題、計算14題、17題。 以下提供個人的解題淺見，我試著用淺顯白話的方式解說，有需要的同學請自行參考。

單元比重分析

題型及試題內容解析

單選1：平面向量與參數式

這一題我們先畫一個簡圖來看一下：

因為點在 $x$ 軸上，因此 $-2+t=0$ 解得 $t=-2$。

接著計算 $A$ 點與觸碰到 $x$ 軸上點的距離：
$$(2a)^2+2^2=5^2$$ 簡單計算一下可得 $$a=\frac{\sqrt{21}}{2}$$ 因此答案選 (4)

單選2：指對數函數的應用

這一題是常見指對數的應用題，沒什麼特別。

假設112天後，物質B與物質A的質量分別為 $m_B$與$m_A$，依題意列式如下：
$$\frac{1}{4}=\frac{m_B}{m_A}=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{112}{T_B}}}{(\frac{1}{2})^{\frac{112}{T_A}}}=(\frac{1}{2})^{\frac{112}{T_B}-\frac{112}{T_A}}$$
將 $\frac{1}{4}$ 寫成 $(\frac{1}{2})^2$，比較指數可得 $$\frac{112}{T_B}-\frac{112}{T_A}=2$$ 因此答案選(2)

單選3：黎曼和與積分

這一題測驗基本的黎曼和表示法，我們可以將式子改寫如下：
$$\frac{3}{n}(\sqrt{4+(\frac{3}{n})^2}+\sqrt{4+(\frac{6}{n})^2})+…+\sqrt{4+(\frac{3(n-1)}{n})^2}$$
這可以理解成函數 $f(x)=\sqrt{4+x^2}$ 在區間 $[0,3]$ 的黎曼和，取極限後收斂至 $$\int_0^3\sqrt{4+x^2}dx$$
因此答案選 (3)

多選4：絕對值不等式

依照題意，我們可以將各個數的相對位置畫在數線上：

選項(1)：因為 $-1<\sqrt{10}<4$，所以$\sqrt{10}$ 落在區間 $(a-b,a+b)$內，故此選項正確。

選項(2)：若 $|x-a|\leq b$，則 $|-x+a|\leq b$，故此選項正確。

選項(3)：若 $|x-a|\leq b$，則 $$|\frac{x}{2}-\frac{a}{2}|\leq \frac{b}{2}$$
也就是說，$-\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{2}$、2、$\frac{7}{2}$滿足 $x$ 的不等式 $$|x-\frac{a}{2}|\leq\frac{b}{2}$$
故此選項錯誤。

選項(4)：若 $b=4$，則 $$(a+4)-(a-4)=8<7-(-3)$$
也就是說，區間$(a-b,a+b)$ 不可能同時包含 $-3$ 與 $7$ 這兩個數字。故 $b$ 不可能等於 $4$。

選項(5)：若 $a=b$，則在區間 $(0,2a)$ 中不可能同時包含 $-3, -1, 4, 7$ 這四個數，如下圖所示：

故此答案不正確。最後答案選(1)(2)

這一題相對簡單。

選項(1)：因為此多項式方程式 $f(x)=0$ 為「實係數」多項式方程式，因此虛根成對，故此選項正確。

選項(2)：因為多項式方程式 $f(x)=0$ 有兩根 $1+2i$ 與 $1-2i$，因此有因式 $x^2-2x+5$。我們做一下長除法如下：

餘式為 $0$，故 $a-12=0$、$b+55=0$ 可得 $a=12, b=-55$，故選項(2)不正確。

選項(3)： $$f(x)=x^4-4x^4-2x^2+12x-55=(x^2-2x+5)(x^2-2x-11)$$

接著將等號兩邊微分： $$f'(x)=4x^3-12x^2-4x+12=4(x-1)(x-3)(x+1)$$
畫個簡圖看一下：

因此 $$f'(2.1)<0$$ 此選項正確。

選項(4)：畫圖觀察函數 $f(x)$ 的遞增與遞減範圍：

因此函數 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 有局部極「大」值才對，故此選項錯誤。

選項(5)：要找反曲點，先計算二階導數： $$f”(x)=12x^2-24x-4=4(3x^2-6x-1)$$
$f”(x)=0$ 的兩根為 $x=\frac{3\pm\sqrt{12}}{3}$ 一正一負，故此選項錯誤。因此答案選(1)(3)

多選6：三階行列式的幾何意義

這一題不太容易，分析如下：

首先寫下矩陣$A$的行列式值
$$detA=tdet\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right]$$
選項(1)：因為 $\vec{u}、\vec{v}、\vec{w}$ 兩兩垂直，故 $$|detA|=|\vec{u}||\vec{v}||\vec{w}|\neq 0$$
因此可推論
$$\left|\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right| \neq 0$$
因此選項(1)正確。

選項(2)：只需舉個反例即可
$$\vec{u}=(1,2,0)、\vec{v}=(-1,-2,0)、\vec{w}=(2,-1,1)$$
因此選項(2)不正確。

選項(3)：同樣地，可以舉出一個反例 $$\vec{u}=(1,2,0)、\vec{v}=(-1,-2,0)、\vec{w}=(2,-1,1)、\vec{w’}=(2,-1,2)$$
也是說，我們要找到一個向量$\vec{w’}$ 同時與 $\vec{u}、\vec{v}$垂直，但是與向量 $\vec{w}$ 不平行。

因此選項(3)不正確。

選項(4)：由題意可知 $detA\neq 0$，可推論
$$\left|\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right| \neq 0$$

用線性代數的說法，就是向量 $\vec{u}、\vec{v}、\vec{w}$ 線性獨立，則矩陣 $A$ 滿秩(full rank)，因此可逆，進而可推論其行列式不為 $0$。

選項(4)正確。

選項(5)：

因為向量 $\vec{u}、\vec{v}$ 不平行，且向量 $\vec{w}$ 同時垂直向量 $\vec{u}$ 與向量 $\vec{v}$，
所以向量 $\vec{u}、\vec{v}、\vec{w}$ 所張出來之平行六面體體積不為 $0$，因此 $detA\neq 0$

選項(5)正確，因此答案選(1)(4)(5)

多選7：期望值

這一題題目很冗長，但不算太難。

選項(1)： $$E(X_1)=\frac{1}{2}\times 5 + \frac{1}{2}\times 7 = 6$$ 此選項正確。

選項(2)：投擲銅板兩次回到原點的可能性為一正一負。因此 $$P(X_2=12)=(\frac{1}{2})^2\times 2=\frac{1}{2}$$

選項(3)：投擲銅板8次後停留的位置，按次序討論如下：8正(4)、7正1反(6)、6正2反(8)、5正3反(10)、4正4反(12)、3正5反(2)、2正6反(4)、1正7反(6)、8反(8)，不可能停留在5的位置，因此 $$P(X_8=5)=0$$
此選項不正確。

選項(4)：投擲銅板8次棋子移動到4的位置的可能性為：8正、2正6反，故 $$P(X_8=4)=(\frac{1}{2})^8+C^8_2(\frac{1}{2})^8$$

投擲銅板8次棋子移動到8的位置的可能性為 $$P(X_8=8)=(\frac{1}{2})^8+C^8_6(\frac{1}{2})^8$$

因此 $$P(X_8=4)=P(X_8=8)$$ 此選項正確。

選項(5)：直接計算如下
$$\begin{aligned} E(X_8) &= (\frac{1}{2})^8[2\cdot C^8_3+4\cdot(C^8_8+C^8_2)+6\cdot(C^8_7+C^8_1)+8\cdot(C^8_6+C^8_0)+10\cdot C^8_5+12\cdot C^8_4] \\ &= \frac{1956}{2^8} > 7 \end{aligned}$$

故此選項不正確。因此答案選(1)(4)

多選8：複數平面

選項(1)： $$\frac{z^3}{4\overline{z}}=\frac{-8i}{-2i}=4$$ 此選項不正確。

選項(2)：將等式兩邊取絕對值：
$$|\alpha^3| = |4i\overline{\alpha}| \Rightarrow |\alpha|^3 = 4 |\alpha| \Rightarrow |\alpha|(|\alpha|^2-4) = 0 \\ $$

因為 $\alpha\geq 0$，所以 $\alpha=2$，此選項正確。

選項(3)： $$\frac{\beta^3}{\overline{\beta}}=\frac{(i\alpha)^3}{-i\overline{\alpha}}=\frac{-i\alpha^3}{-i\overline{\alpha}}=\frac{4i\overline{\alpha}}{\overline{\alpha}}=4i$$
此選項正確。

選項(4)：令 $z=2(cos\theta+isin\theta)$

$$i=\frac{z^3}{4\overline{z}}=\frac{8(cos3\theta+isin3\theta)}{4\cdot 2(cos(-\theta)+isin(-\theta))}=cos4\theta+isin4\theta$$
因此可得 $$4\theta=2k\pi+\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{8}$$
其主幅角的最小可能值為 $\frac{\pi}{8}$，此選項不正確。

選項(5)：由選項(4)可知滿足 $z^3=4i\overline{z}$ 的非零複數 $$z=2cos\theta+2isin\theta$$ 其中 $$\theta=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{8}，k=0,1,2,3$$ 共有四個。
此選項不正確，因此答案選(2)(3)

選填9：和差角公式的應用

首先我們可以驗證 $\sqrt{7}^2=\sqrt{3}^2+2^2$，由畢氏逆定理可知 $\angle{ACB}=90^{\circ}$，我們不妨將此圖形座標化：

接著依題意，分別畫出頂角為 $120^{\circ}$ 的等腰三角形 $\Delta{MAB}$ 及 $\Delta{NAC}$如下圖所示：

接著可以很快標出點$N$的座標 $(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，如果我們可以標出點$M$的座標，這一題就差不多

可以解出來了。如下圖，過$M$作一條鉛直線交$x$軸於$H$，並且令$\angle{ABC}=\theta$。

利用和角公式計算 $$cos({30^{\circ}+\theta})=\frac{\sqrt{3}}{2}cos\theta-\frac{1}{2}sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{7}}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$$
$$sin(30^{\circ}+\theta)=\frac{1}{2}cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}sin\theta=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}$$

接著可以標出點 $M$ 的坐標
$$\begin{aligned} x 坐標 &= 2-\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{3}{2}\\ y 坐標 &=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{5}{2\sqrt{7}}=\frac{5}{6}\sqrt{3} \end{aligned}$$

接著可以計算出線段$MN$ 的平方：
$$\ \overline{MN}^2 =(\frac{3}{2}+\frac{1}{2})^2+(\frac{5}{6}\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2=2^2+\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$$

選填10：空間中的平面與直線

可以先畫個示意圖看一下：

如圖所示，我們的目標是要算出線段 $\overline{AB}$ 的長度。首先，通過 $A$ 對平面 $E_2$ 作垂直線，設其垂足為 $H$。因此
$$\overline{AH}=d(E_1,E_2)=\frac{10-(-4)}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}=2$$ 接著計算向量$\overrightarrow{AB}$ 與 平面$E_1$ 法向量的夾角的餘弦值： $$cos\theta=\frac{(1,-2,2)\cdot(2,3,6)}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}\sqrt{2^2+3^2+6^2}}=\frac{8}{3\times 7}=\frac{8}{21}$$

故 $$\overline{AB}=\frac{2}{cos\theta}=2\cdot\frac{21}{8}=\frac{21}{4}$$

選填11：排列組合

這一題排列組合有些麻煩，關鍵在於「分類」及「逐情況討論」。這十張卡牌編號如下： $$1,2,3,4,5,6,7,8,8,9$$ 分類如下：

兩個8：四個位置選2個放數字8，剩下8個數字選2個排列 $$C^4_2\times P^8_2=336$$
大於6400：

情況一：一個8但不在千位數，千位數字可以是9或7。

$$C^3_1\times P^7_2\times 2=252$$

情況二：一個8放在千位數，剩下非8的數字有8個，選三個排入另外3個位置。

$$P^8_3=336$$

情況三：千位數為6，百位數為9或7或5或4。8有兩個位置可以選，剩下六個數字從兩個位置中選一個，然後有四種情況。

$$C^2_1\times C^6_1\times 4$$

情況3：千位數放數字6，百位數放數字8，剩下7個數字排入兩個位置。

$$P^7_2=42$$

情況4：沒有8，千位數為9或7，剩下七個數選3個排入。

$$P^7_3\times 2 = 420$$

情況5：沒有8，千位數為6，百位為為9或7或5或4，剩下六個數選2個排入。

$$P^6_2\times 4=120$$

以上合計： $$336+252+336+48+42+420+120=1554$$

12-14題組

首先可先將 $a$、$b$ 的值： $$\frac{1}{2}=f(1)=a$$ $$1^2+(\frac{1}{2})^2-3\times\frac{1}{2}+b=0 \Rightarrow b=\frac{1}{4}$$

接著寫出圓 $\Omega$ 的標準式
$$\Omega: x^2+(y-\frac{3}{2})^2=2，圓心 C(0,\frac{3}{2})$$

題組12：兩向量夾角的餘弦值

$$cos\theta=\frac{\overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{CO}|\cdot|\overrightarrow{CP}|}=\frac{(0,-\frac{3}{2})\cdot(1,-1)}{\frac{3}{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

題組13：函數圖形於某一點上的切線

只要確認兩圖形在 $P$ 點的切線斜率相同即可。

$$f(x)=\frac{1}{2}x^2 \Rightarrow f'(1)=1$$

$$x^2+y^2-3y+\frac{1}{4}=0 \Rightarrow 2x+2yy’-3y’|_{P(1,\frac{1}{2})}=0 \Rightarrow y'(1)=1$$

題組14：兩曲線所圍區域的面積。

我們先將圖形繪製如下：

首先驗證 $\angle{PCQ}=90^{\circ}$： $$\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CQ}=(1,-1)\cdot(-1,-1)=0$$

欲求之面積＝$\Delta CPQ$ 面積 ＋ 長方形 $ABPQ$ 的面積 $-$ 扇形 $CPQ$ 的面積 $-$ 圖形 $y=\frac{1}{2}x^2$ 與 $x$ 軸所夾的面積
$$欲求之面積=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}^2+2\cdot\frac{1}{2}-\pi\cdot\sqrt{2}^2\cdot\frac{1}{4}-\int_{-1}^1\frac{1}{2}x^2dx=\frac{5}{3}-\frac{\pi}{2}$$

15-17題組

可以先畫個簡圖看一下：

題組15：計算橢圓的長軸長

$$\begin{aligned} 長軸長 &= 2\cdot\overline{OA} \\ &= 2\cdot\sqrt{(-\frac{5}{3})^2+(\frac{2\sqrt{5}}{3})^2}\\ &= 2\cdot\frac{1}{3}\sqrt{25+20}=2\sqrt{5} \end{aligned}$$

題組16：計算橢圓短軸所在的直線方程式與短軸長

先算出直線 $OA$ 的斜率，
$$m_{OA}=\frac{0-\frac{2\sqrt{5}}{3}}{0-(-\frac{5}{3})}=-\frac{2}{\sqrt{5}}$$ 因此

再利用兩直線垂直則其斜率相乘為 $-1$ 求出短軸所在直線方程式 $L’$ 的斜率。

$$m_L’=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

因此 $$L’:\sqrt{5}x-2y=0$$

接下來計算短軸長：我們可以先算出直線 $L’$ 與橢圓的交點。
利用代入消去法，將 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$ 代入橢圓方程式 $40x^2+4\sqrt{5}xy+4y^2=180$
$$40x^2+4\sqrt{5}x\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}x+41\cdot(\frac{\sqrt{5}}{2}x)^2=180$$
整理式子可得 $$x^2=\frac{16}{9}$$ 因此 $$x=\pm\frac{4}{3}$$ $B$ 點坐標為 $B(\frac{4}{3},\frac{2}{3}\sqrt{5})$

$$短軸長 = 2\times \overline{OB}=2\sqrt{(\frac{4}{3})^2+(\frac{2}{3}\sqrt{5})^2}=4$$

題組17：橢圓旋轉求其上一點

先畫出旋轉後的橢圓簡圖：

由圖可知，$tan\theta=\frac{\sqrt{5}}{2}$。設$P'(x’,0)$並代入原方程式可得 $$40x’^2=180 \Rightarrow x’=\frac{3}{\sqrt{2}}$$

設 $P(x,y)$，則
$$\left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc} \frac{3}{\sqrt{2}}\\ 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} \\ – \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3} \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc} \frac{3}{\sqrt{2}}\\ 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} \sqrt{2}\\ -\frac{\sqrt{10}}{2} \end{array}\right]$$

歷屆試題解析

作者介紹

一位熱愛教學的數學老師，擅長教授國中數學、高中數學、大學微積分。最近幾年斜槓學習網路行銷知識應用在教學工作上，並且發展數位教學模式，提升教學彈性與效率，讓學生無論在實體或線上皆有好的學習品質與成效。