114年學測數學A試題分析與詳解

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114年學測試題與解答(點擊下載)

前言

寫完今年題目的詳解，題目品質很好，
整份試卷中間偏難，印象中與去年差不多，

幾何題佔六成，沒有太艱深的題目，整體計算量大，
耗費我最多時間的是多選第7題，關於數列的遞迴關係式。

整份考題著重在數學本質，
題幹沒有過多包裝，沒有長篇敘述情境題，
文字量最大的是多選第12題，測驗二維數據分析的概念，

判斷上也會花比較多時間。

整理歷屆試題，是我每年考後都會做的事，
已逐漸將工作流程標準化：

1. 寫詳解
2. 分類歸納至各單元，形成資料庫
3. 統計各冊單元比重
4. 製作影片講稿、簡報
5. 錄製影片
6. 自2019年開始，將詳解寫成部落格文章

完成後寄送至高中數學數位學習電子報通知訂戶。

有了這些準備工作，
過了一段時間回來教學都會非常省力，
事半功倍。

題型及試題內容分析

第1題：獨立事件

設事件 $A$ 為抽到藍色球的事件，事件 $B$ 為抽到1號球的事件。
依照獨立事件的定義 $P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$ 代入數值 $\frac{2}{9+k}=\frac{5}{9+k}\times\frac{6}{9+k}$ 解得 $k=6$ 答案選(5)

第2題：直線方程式的應用問題

先畫圖，並且將兩直線一般式寫出來

將 $A$ 、 $B$ 兩點的坐標表示出來

接著計算 $\Delta OBP$ 及 $\Delta OAP$ 的面積差： $\frac{1}{2}a\cdot (\frac{3}{2}a-\frac{4}{3}a)=3$ 解得 $a=6$ 答案選(2)

第3題：不盡相異物的排列組合

為方便討論，設
鋼琴表演的曲目為 $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ ，
小提琴表演曲目為 $B_1, B_2, B_3, B_4$ ，
歌唱表演曲目為 $C_1, C_2, C_3$

依題意可知，排列方式為以下四類： $B, A, C$ 、 $A, B, C$ 、 $A, C, B$ 、 $B, C, A$

每一類的排列方式皆為 $5!\times 4!\times 3!$ 因此最後答案為 $4\times 5!\times 4!\times 3!$ 選項(4)正確

第4題：對數函數的圖形-尋找格子點個數

先畫圖：

求出鉛直線 $x=\frac{61}{2}$ 及 $y=log_2x$ 的交點 $(\frac{61}{2}, log_2\frac{61}{2})$

接著依水平線 $y=1, y=2, y=3, y=4$ 將格子點分為四類：

當 $y=1$ 時， $x=3 \sim 30$
當 $y=2$ 時， $x=5 \sim 30$
當 $y=3$ 時， $x=9 \sim 30$
當 $y=4$ 時， $x=17 \sim 30$

合計： $28+26+22+14=90$ 答案選(3)

第5題：解三角函數不等式

直接解兩個三角不等式：

$\begin{aligned} sin2\theta > sin\theta &\Rightarrow 2sin\theta cos\theta > \ sin\theta \\ &\Rightarrow sin\theta \cdot (2cos\theta -1) >0 \end{aligned}$

另外，
$\begin{aligned} cos2\theta > cos\theta &\Rightarrow 2cos^2\theta-1 > cos\theta \\ &\Rightarrow 2cos^2\theta-cos\theta-1>0 \\ &\Rightarrow (2cos\theta+1)(cos\theta-1) > 0 \\ &\Rightarrow cos\theta < -\frac{1}{2} \end{aligned}$

綜合以上可知 $sin\theta<0, \ cos\theta <-\frac{1}{2}$ 因此 $\pi < \theta <\frac{4}{3}\pi , b-a = \frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$ 答案選(1)

第6題：空間向量張出的平行六面體體積

這三個向量互相垂直，因此張出來的平行六面體為長方體，體積就是長×寬×高。

依題意，可先求得 $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=(2,-1,0)+(-1,2,3)=(1,1,3)$

接著計算：
$\begin{cases} 5 = |\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|^2 = |\overrightarrow{u}|^2+|\overrightarrow{v}|^2 \\ 14 = |\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}|^2 = |\overrightarrow{v}|^2+|\overrightarrow{w}|^2 \\ 11 = |\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}|^2 = |\overrightarrow{u}|^2+|\overrightarrow{w}|^2 \end{cases}$ 將以上三式相加可得 $|\overrightarrow{u}|^2+ |\overrightarrow{v}|^2+ |\overrightarrow{w}|^2=15$
解得 $|\overrightarrow{u}|^2=1, |\overrightarrow{v}|^2=4, |\overrightarrow{w}|^2=10$ 最後 $體積 =|\overrightarrow{u}|\cdot|\overrightarrow{v}|\cdot|\overrightarrow{w}|=1\cdot2\cdot\sqrt{10}=2\sqrt{10}$ 答案選(3)

第7題：遞迴關係式

這一題頗有難度，這裡提供一個簡單的方法：

選項(1)： $3a_2=a_1+1=3 \Rightarrow a_2=1$
選項(2)： $b_2=a_2-\frac{2}{2}+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$
選項(3)：
$\begin{aligned} b_{n+1} &= a_{n+1}-\frac{n+1}{2}+\frac{3}{4} \\ &= \frac{1}{3}(a_n+n)-\frac{n+1}{2}+\frac{3}{4} \\ &= \frac{1}{3}a_n-\frac{1}{6}n+\frac{1}{4} \\ &=\frac{1}{3}(a_n-\frac{1}{2}n+\frac{3}{4}) \\ &= \frac{1}{3}b_n \end{aligned}$ 數列 $<b_n>$ 是公比為 $\frac{1}{3}$ 的等比數列

選項(4)：將式子 $3a_{n+1}=a_n + n$ 等號兩邊同乘以 $3^n$ 可得 $3^{n+1}a_{n+1}=3^na_n+3^n\cdot n \tag{1}$
顯然 $3a_1$ 為整數

如果 $3^na_n$ 為整數，由第(1)式可知， $3^{n+1}a_{n+1}$ 亦為整數。
故由數學歸納法得知，對於任意正整數 $n$ ， $3^na_n$ 為整數，此選項正確。

選項(5)： $b_{10}=\frac{9}{4}\times (\frac{1}{3})^9 = \frac{1}{4\times 3^7} = \frac{1}{8748} > \frac{1}{10000}$ 此選項不真。

因此最後答案選(2)(4)