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前言
前陣子，我寫了一篇如何學好高中數學的文章，標題是「如何學好高中數學？破除學習迷思，建立正確觀念」，已持續數個月在google關鍵字「如何學好高中數學」排名第一篇，這給了我不少鼓勵。藉由網路，我得以不受時間與空間的限制，幫助到更多學生。
我已經教了二十多年高中數學，近幾年，因為在完全中學任教的緣故，才得以接觸大量國中學生，也將國一~國三的課程內容完整教過了兩~三遍。
記得剛開始教國一生時，就被家長批評解題方法用了太多代數，學生難以理解。甚至在寫出清楚嚴謹的算式後，卻被學生批評方法太過麻煩。
今年是我第三次教國一學生，在經歷三年十一個國一班的洗禮後，已沒有再遇到類似的批評。
最近學生考不好，我找來討論原因，第一件事就是確認學生上課是否聽得懂？所有學生都說上課完全可以聽懂。那麼我應該是有盡到一個身為老師最根本的責任了。
接下來要探討的是，既然上課聽得懂，為什麼仍然考不好呢？當然我要先剔除不願意努力的情況，將討論聚焦在願意付出努力且有心學好數學的學生身上。
是否有什麼方法可以幫助學生突破困境，成績進步，甚至為將來的數學學習打下堅實的基礎，享受思考數學帶來的樂趣呢？
首先，我認為心態很重要，而心態始於觀念。想要學好數學，必須先建立正確的觀念，產生好的心態，接著才是方法，以及習慣的培養。因此，這篇文章將以大量篇幅闡述觀念的部份，接著才是方法的介紹，最後則是鼓勵讀者用力去實踐。
國中數學學習迷思
迷思1：國小數學是這樣學的，國中數學應該也這樣學
最近考完段考，有家長憂心忡忡傳line訊息給我，說想跟我聊一下。她說，她女兒國小成績還不錯，怎麼到了國中卻考得如此淒慘？我看了一下這名學生的平時成績，保持中等水平，還不算太差。查了她作業的繳交情況，也沒有缺交與遲交的紀錄。
接著我再檢視她的作業內容，發現一個現象，就是選擇題與填充題的部份都只有答案，僅計算題留下算式。平日我再三提醒學生，雖然考試時「選擇題」與「填充題」不需看算式，但是寫作業是學習的過程，應該盡可能留下自己思考的痕跡。講義後面都有答案，寫答案在上面其實意義不大。
但是我發現，很多學生仍然無法留下「算式」，還是只能寫出「答案」。這便是國小數學的特性：幾乎都是直觀，具體的問題，覺得對就好，不需要證明，過程也不用太長。
但是國中數學開始出現一些生活中不易印證的內容，較為抽象且不直觀。如果無法將思考程序寫下來，容易在解題過程中出現盲點而不自覺，他人也無法協助印證想法的對錯。
我曾經被國一學生批評，這些「算式」讓他覺得很麻煩，問有沒有更簡單的方法。或是他提出一個他認為比較簡單(有濃濃國小思維)的解法，他不知道我正在用較高層次的方法在解題，只是因為看不懂就將其歸結為不好的方法。這類學生往往在之後的成績表現平平。
因此，現在我會告訴學生，你的方法可以，但那是國小的方法，你也不妨聽看看國中的方法，聽得懂很棒，聽不懂也是正常的不用擔心，我們之後的課程會一直重複，讓你逐漸熟悉。
所以我要建立學生的第一個觀念是
以開放且謙虛的態度面對學習，才有機會提升自己思考與解題的層次。
國小數學的學習方式，到了國中是需要調整的。學生要做的第一個改變就是，設法將想法有條理地寫出來。
迷思2：數學成績不理想，就是因為演算題目不夠所致
每次學生考差，最常聽到的原因有兩個，一是粗心，另一則是認為自己題目做得太少。
粗心的問題，我們稍候再回來討論。
不可否認地，演算題目是學習數學的必經過程，在國中階段尤其重要。因為國中數學的觀念相對單純簡單，課程內容不難理解，所以學生經由大量演練的確會收到不錯的考試效果。
然而，自從108課綱實施後，強調素養導向教學，考題的文字量及豐富度大幅增加。學生正在面臨另一個挑戰，那就是閱讀理解的門檻變高了。
對於沒有養成閱讀習慣的孩子，考題的理解較為緩慢，甚至容易誤解題意。倘若在理解尚未到位之前，拚命演算題目，通常容易淪為背記，應付小範圍的考試還行，一旦遇到大範圍的考試，通常成績會呈現不穩定的狀態。
因此，我認為考差，不應只是歸咎題目做得太少，而是要問，自己的理解層次，是否有因為演練題目後而有所提升。學習數學，要在真正理解後，經由適量的演算題目即可，如此才可能體會到學習數學的樂趣。
如果無法掌握學習數學的本質，讓自己感受到思考能力提升所帶來的喜悅，盲目演練題目，只會埋下厭惡數學的種子罷了。
迷思3：多背公式及特殊技巧解難題就能學好數學？
許多學生對於學習數學有一個誤解，認為「多背公式，然後用公式解題目」或是「多記一些特殊技巧解難題」這樣就能學好數學。
首先我們來談談什麼是公式？
公式本質上就是經由思考、推敲，整理後，讓我們方便使用的形式。不可否認，公式當中蘊藏著數學的內涵，學習公式本身沒有錯，問題出在，很多學生在不理解公式之前，盲目將其套用在題目上面。成績沒有起色是一回事，甚至還會誤以為數學竟如此無趣。
所以當我們看到一個新的公式，不要急著把它背起來，而是多去想想，這個公式是怎麼來的，試著從基礎的觀念去理解。不妨練習看看，有一道題，用公式可以輕易解出，但如果沒有公式，你會怎麼做？在不依賴公式，而能從公式的本質去解出問題的學生，才是對公式真正的了解。
舉一個例子，對於一個等差級數公式：
$$1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
正確學習的方式應該是去思考，為什麼這個等式會成立？然後慢慢發現，原來這樣的級數有個特性，就是「第1項＋最後1項」＝「第2項＋倒數第2項」＝「第3項＋倒數第3項」…。
接著我們可以將整個級數反過來寫，當然總和不變。假設原來總和記作 \(S_n\)，此時
\begin{aligned}
S_n &=1+2+3+…+(n-1)+n \\
S_n &= n+(n-1)+(n-2)+…+2+1
\end{aligned}
接著兩式相加可得：$$2\times S_n = (n+1)\times n$$
等式兩邊同時除以2，便可寫出這個公式：
$$S_n=1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
藉由這個簡單的例子，請讀者去體會，看到公式時應該有的「態度」絕對不是只有將它背起來而已。我們應該先知道為什麼之後，為了因應考試的需求(有時間限制)，用一些方法將公式記熟，提升我們的解題速度。
接下來我們來聊聊，學特殊技巧解難題這件事。
不可否認地，解難題有助於我們磨練思考與解題能力。但是如果一道特殊難題只能用特殊技巧處理，那麼這樣的題目只能當作學習的點心而非正餐。
除非那個特殊技巧是自己經由基礎觀念慢慢推敲領悟出來的，那麼其意義卻是截然不同的。
有些學生對於學習另一大誤解就是，背了一些特殊技巧解一些特殊的題目，沒有抓到問題的本質，這樣的學習長遠來看通常是無效的。
因此，同學不妨練習，下一次看到一道題目用了特殊的方法解出來，不妨再想想，如果不用這個方法，要如何做出來，即使慢一點也沒關係。
迷思4：我會做就行了，但我不想講想法
為什麼明明上課聽得懂，作業也都有寫，但是考試考出來卻不盡理想？
通常我會從兩個部份來看：
第一：作業是否留下算式，從算式檢視思考過程。
第二：對於寫對的題目，我會請學生扮演老師講一次給我聽。
我真的沒有遇到過，算式寫得井井有條，也能將解題細節說清楚的學生數學學不好。反倒遇到不少學生，表面看起來好像有認真完成功課，但經由檢查便會發現極不確實，應付了事者居多。
學習是一個心智發展的過程，做表面功夫也許可以看起來沒問題，但遲早原形畢露，想想為什麼一遇到大範圍的考試就考不好？
學習的根本就是要對自己誠實，然後針對自己不足之處下苦功，長久累積，才得以提升層次。
再者，如果也能對他人誠實，也許還能獲得外來的協助。
所以當我一對一請學生講給我聽的時候，就是在診斷，學生對於數學的認知水平到了哪個階段，才得以更精確抓到學生的問題。對於不想表達思考過程的學生，我也愛莫能助了。
舉個例子來說，有一次我在班上考了一道小考題如下：
我就會開始問學生，看到這一道題目，通常第一步你會怎麼做？
第一類學生會回答，第(1)題就直接乘上 \(15\) 與 \(25\) 的最小公倍數，
第二類學生則會回答，應該先將其化為假分數會比較方便。
顯然第二類學生將問題看得較為長遠，他也有想到第(2)題的解題需求。
這兩個分數可以寫成 $$\frac{64}{15}, \frac{56}{25}$$
這時候就會有一些學生開始感到困擾，有人乘了一個分數，卻沒顧到乘了之後不是整數，也有人找到的分數並非”最小”。
這也突顯出有些學生”讀題”不確實的問題。
我會問學生，如果乘以75，是否符合題目需求？學生會發現，符合。
但是75是滿足條件中最小的數嗎？顯然不是。
那麼表示分母可以再大一點，讓這個分數變小。你覺得分母最大可以是多少呢？
經過一番思考，我們發現，分母其實就是 \(64\) 與 \(56\) 的公因數，因為題目要求這個分數最小，因此分母自然要取 \(64\) 與 \(56\) 的最大公因數。
所謂解題，就是在自己心中多問幾個為什麼，強迫自己思考，避免太多反射性機械性的操作。學生應該時常表達思考過程，如果可以的話，請家長充當孩子的學生，讓他教會你，不僅幫助他成績進步，也藉由親子互動增進彼此的關係。
迷思5：數學考不好，補習就可以了！
很多家長在孩子進入國中後，第一個想到的就是，到底要不要給孩子補習？尤其當孩子考出來的成績不盡理想，立刻就想將孩子送去補習班或是請家教。
我很常聽到家長詢問，是否有推薦的補習班？
我不反對學生補習，但是我認為補習之前，應該先思考以下幾點：
- 自己是否足夠用功？
- 是否已建立正確的學習觀念？
- 是否嘗試調整讀書方法，然後很明確知道自己的需求？
我自己從事補教業多年，坦白跟各位家長說，有幾種情況補習的效果非常差：
第一，並非出於學生意願，而是家長強迫補習。
這種學生大多應付了事，配合度不高，課後不主動複習，作業不認真寫，想當然爾學習效果非常不好，家長付的學費注定打水漂。
第二，學習的習慣不好，基本動作不確實，而且不願意(或沒決心)改變。
什麼是學習的基本動作呢？不外乎就是課前預習、課後盡快複習，作業確實完成。
這也是我要跟家長分享的其中一個觀念，每個人天生的理解能力、計算能力多少都有一些差異，但是基本動作是每個人都可以做的。學生課業繁重，也許沒辦法做到課前預習，至少也要做到「課後儘快複習」，「作業確實完成」這兩項。
為什麼課後要「儘快」複習呢？
因為對於新學習的內容必定遺忘得特別快，放愈久再開始複習，遺忘得愈多，複習的效果愈差，事倍功半。
我以前在補習班教書以及擔任家教時，就遇到過一些學生，上週的課程結束後，講義就一直擺到下一次上課才又拿出來，結果就是忘得一乾二淨，上週的課程基本是白上了。家教學費又如此昂貴，卻完全沒有效果，叫父母與老師情何以堪？
因此，我都會給學生設定第一次複習的黃金時間，就是二十四小時內一定要複習第一遍，直到下次上課前至少複習2遍。拖愈久，複習效果愈差。
再來就是寫作業的部份。我最近找了一些段考考差的學生，與他們一同檢討考差的原因。他們有一個共同點就是，寫作業或筆記不確實。
怎樣才是一個確實的作業呢？
以下條列幾點供讀者參考：
- 首先，要留下計算或思考的過程。
- 接著，寫完作業後必須批改與訂正。
批改時請留下三種記號：寫對的打勾，寫錯的打X，寫錯但已訂正的再將X圈起來。
並且針對打X的部份於課堂中提出討論。
再者，有留下以上記號，就是留下段考前複習的依據。
什麼題目要優先複習？
當然就是當初寫錯，或是本來不會寫後來檢討過才會的題目。
難題通常寫一遍是記不住的。
如果一開始寫作業時沒有留下這些讓自己好辨別的記號，考前還要全部題目重做一遍，實在太沒效率。難怪會有學生說，他不知道數學要怎麼複習？
回歸正題，我不反對補習，但我反對盲目地補習。補習所要投入的成本，不僅僅是金錢，還有額外的時間，那會壓縮到學生課後複習的時間。然而，學習是須要自己靜下心來，好好思考，消化吸收與整理。補習有時候就像速食套餐，幫你整理好，方便又快速。但是回歸學習的本質，還是要自己學會整理，這才是畢了業還帶得走的能力。
因此，要補習當然可以，但請先弄清楚自己的需求。然後，不是補愈多愈好，如果真的需要補習協助自己可以快速應付考試，我認為補1~2科即可，這樣自己才會有足夠自主學習的時間。
迷思6：數學考不好，趕快請家教就可以了！
我自己從事1對1家教工作二十多年，幾乎與每個學生都相處相當久的時間，因此僅教過近百位學生。
家教課是我認為可以對學生幫助最大的一種教學模式，有些學生上家教課之後進步神速。然而，也有一些學生上家教的效果極其有限，遺憾的是，有一些學生上家教課完全沒用。
姑且先不討論師資等級，就以我個人來說，我的教學方式通常可讓學生兩個月左右感受到明顯進步。但我也有遇過幾位學生，教了兩、三年了，成績卻仍然不太穩定。
一般上課前我都會先設定「規矩」：課後未複習、作業兩次以上未完成，則暫停課程一次。若學習態度未改善，則建議停止課程。
但是有時候受朋友委託，說小孩真的不愛唸書，只希望他每個禮拜能多少學一些，不要完全不讀就好，至於成績就不強求了。以前我還是研究生時，這種案件還會接，就是教了一段時間成績仍沒有太大起色的學生來源。畢業後有全職工作，我愈來愈忙，只會將時段留給有一定基礎及具備良好學習態度的學生。
家教模式對於已經有正確的觀念，願意努力且知道自己哪裡需要加強的學生幫助甚大
作為多年的家教老師，我發現，很多學生的問題不是出在學習的”技術”，而是心態與觀念。課程內容、解題技巧、學習方法相較於學習態度、觀念、心態、動機都只能算是小事。
我遇到過的學生通常都是數學成績不理想才找家教，但是為什麼有些學生進步顯著，有些卻仍然苦苦掙扎？關鍵就在於自己願不願意改變，而這也正是教育的本質。
經由找補習班與家教迷思的討論，讀者應該不難發現，讓外在資源產生效果的關鍵在於自己的心態是否已準備好，這也是為什麼我從來不教被家長強迫上課的學生。
迷思7：數學學不好是因為我沒有天份
人的思維模式有兩種，一種是「固定型思維」，另一種則是「成長型思維」。不可否認，我們身邊的確有這樣的人，只要稍加努力就會有很好的成績。
不去調整好心態，建立好觀念，嘗試用正確的方式學習，而將數學學不好歸咎在天份問題的好處在於，認為自己可以不用這麼努力，因為努力了也沒用。這樣想的確可以讓自己輕鬆許多，是典型的固定型思維。
固定型思維會讓人停止思考，止步不前。
然而，這個世界最可怕的事，就是那些比我們優秀的人比我們還努力！每個人一定都有強項及弱項，用自己的強項為世界創造更多價值以及努力試著將自己的弱項做好，同樣值得被尊敬。
即使無法達到預期目標，但凡努力走過必定留下痕跡，也許還可能看到沿路美麗的風景。
我從來不否認每個人可以達到的數學水平與天份是有關聯的，一個普通人，無論再怎麼努力，也許都無法成為一個數學家。但是經由努力，讓我們有機會成長與進步。學好國中數學不需要很高的天份，而是正確的觀念與學習方法，加上一些努力，相信每個學生都可以做得不錯。
迷思8：多算幾遍就可以學好數學了！
每次與學生或家長討論數學考差的原因，最常聽到的就是認為自己算得不夠多。沒錯，想要學好數學，一定要有充份的練習。尤其國中數學的觀念沒這麼複雜，不難理解，很多時候就是錯在計算錯誤，或是算得太慢導致考試寫不完。
在國中階段，大量做題對於成績的確會看到立即的效果。
但是，以長遠來看還不夠。
總是以題海戰術學習數學的學生，國中時的成績也許可以維持一定水平，但是上了高中就可能會有適應上的困難。因為從高中開始，課程內容複雜許多，題型更多變化，題目源源不絕。盲目做題，效果往往差強人意。
那該怎麼做才能真正學好數學呢？
我認為有三個能力必須培養，分別是「歸納整理」、「分析思考」、「閱讀理解」。我會在文章後面持續分享這三個重要能力的培養方法。
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數學是什麼？從數學的特徵談學習策略
學習數學的方法，與數學這個學科的「特性」息息相關，了解數學的特性，就自然會明白，為何非要用理解的方法去學數學。要改變學習數學的習慣，其實並不容易，尤其很多學生早已習慣既有的方式，現在必須在心態上徹底翻修，一定要先深切地了解並相信正確的方法，才可能持之以恆做下去。
大致說起來，學習數學的方式與大部份的學習類似，初學的時候只要記下簡單的規則，漸漸進入狀況後，再用頭腦去思考各種問題。
參考書籍：如何學好中學數學 / 任維勇 著
試回想，我們在學習國中數學時，每一個單元都包含了哪些內容呢？
是不是有數學知識、觀念、定義、定理、公式、證明、解題、文字理解、綜合能力。
我以國中數學第一冊2-4指數律來舉例說明。
課程之初，我會先順著標題提問：什麼是指數律？
抽籤提問，為什麼我們要以指數的形式表示呢？
(學生思考中…)
此時有學生說，因為之前學「科學記號」時，有一些很大的數，例如兩星球間的距離，會寫出很多個 \(0\)，為了讓我們寫數字時不這麼繁瑣，因此以「指數」的形式表示。這就是數學觀念的部份，知道為什麼要學習這個單元的原因。
接著，告訴學生數學知識，所謂的指數律主要有三條，然後其它運算規則再由這三條推衍出來。是哪三條呢？
首先，對於任何的數字 \(a\)，我們將 \(a\times a \times a \times a…\times a (n 個 a)\) 記成 \(a^n\)，其中 \(a\) 稱為底數，\(n\)稱為指數。
設 \(m,n\) 為兩個正整數，則：
(1) \(a^m\times a^n = a^{m+n}\)
(2) \((a^m)^n=a^mn\)
(3) \((ab)^m=a^m\times b^m\)
指數律在次方為「正整數」時看起來十分直觀，學生會花一些時間在這部份演算，熟悉指數律的操作。
接下來有學生提問，記得我們在寫科學記號時，也可以去描述一個很小的正數，此時指數就會是負的。
【老師提問】
如果次方為 \(0\)，則 \(a^0\) 是什麼意思呢？
如果次方為「負整數」，即 \(a^{-n}\) 是什麼意思呢？
在知識層面，學生知道 \(a^0=1\)、\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)，可是為什麼呢？
數學是理科，也就是說理的科目，正確的學習方式，應該是要試著多問幾個為什麼，好的問題的價值有時候不亞於解出一道難題。
接下來，就是要試著去說明，如何將「正整數」指數拓展到「整數」指數？確定了負整數指數的定義後，如何驗證仍然滿足指數律呢？
雖然只是在國中的課堂，但我還是盡可能將數學的面貌呈現出來。除了觀念、定義、解題，還有推導、證明。絕對不是如很多學生所說的，數學只要多算就能學好。如果對數學的認識太過局部，是很難找到自己學習的盲點。所以上課認真聽講非常重要，不要再自顧自地拚命刷題了。
以上說得這麼多，接下來我就來總結一下，到底怎麼樣才是學好數學過程。
當我們接觸一個新的單元時，先看一下大標題，大致了解整體內容在講什麼？然後上課務必認真聽講，聽老師如何詮釋內容，強調哪些觀念。
就我自己教書的經驗，我認為國中數學的教科書寫得非常直觀，學生不容易從中體會到數學的內涵。這也就是為什麼，學習之初，多做一些題目就可以考到不錯的成績，可是隨著內容不斷加深，逐漸倍感吃力。原因不外乎就是輕忽基礎觀念的重要性。
建立好觀念後，再以範例加深自己的認知。題目演練適量即可，多做些不同類型的題目，刺激自己思考，增加經驗，形成自己的「解題風格」，優化自己的「解題策略」。因此可以說，做題目是我們用以瞭解數學的手段，而不是目的。然而，為數不少的學生，卻誤將手段視為目的一般追逐，導致對於數學的誤解並且失去學習興趣。
數學是一門理解的科目
數學是一門藉由理解可以輔助記憶，藉由記憶可以擴大理解的學科。
我自己以前不是個擅長背書的學生，記憶力不太好，同樣的內容，別人背一個小時，我可能要背三個小時才背得起來。記得我以前讀得最辛苦的科目是地理及生物，可能沒有真的理解想要硬背，但背了又會忘，所以讀書效率不太好。
我之所以喜歡數學，就是因為數學一旦理解了，就算忘了也可以慢慢推導出來。而且推過之後，對於一些公式、定理印象特別深刻，也比較不會忘掉。
然而，在我教書的生涯中，發現很多學生沒有推導公式、證明定理的習慣。那些學生總想背一堆公式、特殊技巧，看看能不能套用在題目上面，快速將答案解出來。所以只能處理很表面、既簡單又淺顯的問題。這種學數學的方式看似很快，但就很像一個地基沒打穩的大樓，拚命往上蓋，其結果會如何呢？
因此，學習數學，寧可一開始，將每個公式、定理確實理解，雖然推導與證明的過程看似很緩慢，但只要一開始有將觀念建立紮實，後面的學習自然水到渠成，真正達到累積的效果。
數學的內容環環相扣，逐層累積
我曾經擔任多年的數學救火隊，協助大考迫在眉睫的考生規畫考前複習。包括：國中會考(基測)複習、高中學測複習、高中指考複習、大學微積分轉學考、大學微積分重俢考、高職C統測複習。教學的過程中，深深體會到，數學基礎累積的重要性。
因此我在教學之初，第一件事就是要確認學生的「學習起點」，然後以此為基礎往上繼續建構教學。但是坦白說，如果學生的學習起點差得太遠，想要短時間之內在大考取得好成績是相當困難的。往往就是家長砸下重金聘請老師，但卻事倍功半，效果十分有限。
學習數學，就像在蓋一座大樓，而教學，就是在為學習者架好階梯，讓初學者可以用最少的力氣爬到一定的高度。相信讀者一定聽過一些天才數學家的故事，思考可以跳躍，年紀輕輕就達到相當高的數學成就，這種極高天份的少數情況便不是我們要探討的範圍。
對於一般學習者而言，就是要以正確的方式，按部就班，層層推進，確實弄懂每個小部份，才能夠在遇到大範圍的綜合題型時活用基本觀念解題。這也順帶回答了許多學生及家長的疑問，為什麼平時小考成績不錯，但一遇到大範圍考試卻總是考得一踏糊塗？理由很簡單，就是基本觀念不紮實，只想藉著盲目大量做題，用記憶解題的結果。
學習數學最快的方式，就是在基礎觀念清楚的情況下，適量演練題目，提升自己的解題經驗，改善自己的技巧。總想以大量做題取得好成績的人，也許小範圍考試可看到效果，但很快就會碰到瓶頸，難以突破。
學習數學必須不斷地思考
不久前，有個學生跟我分享，她說相較於國文、英文、公民這些科目，數學似乎較難以掌握。因為即使背了所有公式、及大量記下題目的解法，還是時常看到題目不知如何下手。學習數學的方式與其他科目好像不太一樣。
這的確是很多學生學習數學的迷思，總想背下公式，然後將公式套入題目中；或是記規則，遇到不會的題目馬上看詳解。然而這種方式是不可能學好數學的。
學習數學，必須多思考，而思考的依據則是「基本觀念」。
我遇過不少學生，每天算數學，但成績沒什麼起色。每當我一對一指導時，發現有一類學生是基礎觀念都不太清楚，就拚命做題；另一類學生則是，基礎觀念有了，但不知如何使用在解題上面，沒有培養出好的解題策略。
那麼要如何培養自己多思考呢？
我認為方法有兩個，一是做題時不要輕易看詳解，另一則是將自己的理解講給別人聽。
我認為看解答的時機是，解出來後對答案使用，或是已經有了自己的一套解法，可以看詳解與作者交流誰的解法比較好。
另外，將自己的理解講給別人聽的好處時，可以梳理自己的思緒，然後從中發現到自己思考的盲點。
數學是有趣且富有挑戰性的科目
對於大多數國中生而言，數學的確是相當困難的一門學科，困難的原因不外乎無法理解、計算頻頻出錯，數學考試讓他們感到焦慮。
但是另一方面，學生們也時常表示，解出題目讓他們感到無比的成就感，這種感覺就很像挑戰遊戲關卡，經過一番努力總算破關了一樣，其喜悅是難以言喻的。
沒錯，只要用對學習方法，解數學題，其實就跟玩遊戲一樣，是很容易令人著迷的。但是為什麼很多學生沒辦法體會到這種學習的樂趣呢？
我想原因是出在，學生們將太多心力放在應付考試上面，有考試才讀書，沒有培養出好的學習與思考習慣。
我看過很多喜愛數學的學生，他們有一個共通的特性，就是不會只將心力放在課本的內容上面，而是還會再找額外的閱讀材料，擴展自己思考的維度。並且，解題時不輕易看詳解，不斷嘗試各種方法解決問題。
數學之所以迷人，就是因為當中蘊涵著人們長久累積的智慧，是文化粹鍊的結果，而且思想深刻，發展至今仍然看不到盡頭。
數學是嚴謹且精確的
數學本身的特性就是嚴謹且精確的，因此學習的過程，必須做到一絲不苟，毫不含糊。
對於國中生而言，最常見的一種學習方式就是，面對選擇題時，只是設法用作答技巧將答案選出來，而不是確實弄懂一道題。這在考試取分時，無可厚非。然而，平日寫作業時，再用這種方式，是很難真正學好數學的。
最常見的一種「傷害」就是，平日寫作業時，能夠將選擇題寫對。然而，一旦考試時，將選擇題換成填充題或計算題，很可能就做不出來了。這也就是為什麼，明明平常都有按時寫作業，但是數學成績卻時好時壞，沒有起色。尤其遇到填充題及計算題較多題的考試，成績通常不太理想，這是普遍現象，關鍵原因就在於「確實」二字。
因此，學生平常寫選擇題時，可以用任何方式先試著將答案選出來。接著也別忘了將選項蓋住，在沒有選項的情況下，視作計算題做一次，如果仍然可以做出來，表示對於此題的理解是「可以」的，在考試時相對比較不會失誤。
正確學習數學的方法
有些學生花了大把時間在學習數學，但成績依然沒有起色，使他們感到十分挫折。在國中階段，考不好的原因不外乎以下幾點：
一、基礎觀念不夠紮實
這一類學生往往將課程內容草草讀過就拚命刷題，輕忽基礎觀念的重要性。學習數學，應該是在知道一些基本觀念的情況下，用這些觀念做出很多道題目，而不是採用題海戰術，藉著記憶題目的解法，做一題學一題。畢竟題目是無窮無盡且千變萬化的。用觀念解題，像是玩遊戲，每一題都可能帶來成就感。用記憶解題，則只是在應付考試，只能處理變化性不高的題目。再者，用大量記憶學習數學，即使短期的考試成績尚可，也不會覺得有趣。
二、閱讀理解能力不足，常常看不懂題意，或對題目解讀錯誤。
我自己在教學的過程中發現，很多時候難的不是數學本身，而是題意的理解。尤其是素養導向的考題，字數偏多，著重生活情境化、整合應用能力、跨領域與學科應用。不少學生反應，只要他知道題目的意思，這一題就不會覺得困難了。這邊舉幾個例子說明：
【例1】七年級數學：二元一次方程式
錢與我們的日常生活習習相關，每個錢幣都有其特定重量。那麼如何以重量來估算總值呢？這一題是很多學生提出的問題，但困難嗎？其實一點也不會。但是對於第一次看到這道題的學生而言，仍然造成一些題意理解的困擾。
【例2】七年級數學：一元一次方程式
這是108年的會考題，也是讓不少學生們感到困難的一道題目。這類題目建議用樹狀圖來理清思緒，再慢慢抽絲剝繭將答案找出來。
類似的題目還有以下這一題
【例3】七年級數學：二元一次方程式
題目不難，但得先理清題意，請善用樹狀圖。
三、計算粗心
接下來，我們就來探討，怎麼樣才是正確學習數學的方法，提供想要學好數學或是想幫助孩子學好數學的讀者自行檢視與修正。
務必將定義記熟
有一本書相信大家都聽過，書名是「幾何原本」，是由古希臘數學家歐幾里德所著，共13卷。
如果你沒聽過，沒關係，那有另一本書你一定聽過，就是「聖經」。據估計在西方，《幾何原本》是僅次於《聖經》的出版版本數量的書籍。
《幾何原本》先列出了一系列「公設」(Postulate)、「公理」(Common Notions)和一些概念的陳述，稱為「定義」(Definition)；以這些基本的、「不證自明」的陳述，透過演繹、推理和論證導出了 465 條命題，成為他演繹體系的主體，稱為「歐幾里德幾何」(Euclidean Geometry)，簡稱為「歐氏幾何」。
學習數學的過程就是如此：首先，知道定義，然後用定義去回答一些問題。或者從定義出發，去推導出一些性質。對於較深刻的事實，就會成為「定理」。對於猜測但不知對錯的命題，就會成為「猜想」。
我們以國中數學為例，第二冊3-2正比與反比。
你是否可以清楚地描述「正比」與「反比」的定義呢？
或者請試著用「一句話」描述「正比」與「反比」的定義：
兩個變數相除為一個非零的定值，則稱此兩個變數成正比；
兩個變數相乘為一個非零的定值，則稱此兩個變數成反比。
以數學符號描述：
如果兩變數 \(x\)、\(y\) 滿足 $$\frac{y}{x}=k\neq 0$$ 則稱 \(x\)、\(y\) 成正比；
如果兩變數 \(x\)、\(y\) 滿足 $$xy=k\neq 0$$ 則稱 \(x\)、\(y\) 成反比。
接著可以試說明以下問題：
如果 \(x-y=11\)，\(x\)、\(y\) 皆為正數，為什麼 \(x\) 和 \(y\) 不成正比？
此時，有一些學生是答不出來的。因此，我會進一步引導學生去檢查定義。我們可以隨意找出兩組解 \((x,y)=(12,1), (13,2)\)，然後比較兩組數對的比值：$$\frac{12}{1}\neq \frac{13}{2}$$
因此 \(x\) 和 \(y\) 不成正比。
能夠精準說出定義，是學好數學的第一步，也是基本功。
同學不妨再試試以下練習：
什麼是「奇數」與「偶數」？什麼是「質數」與「合數」？什麼是圓形？什麼是三角形的外心、內心、重心？
我們不能只滿足於用「直觀化」、「舉例」的方式理解定義，還要學習以「數學化的定義」來描述。這也是區分數學成熟度的分水嶺。
以下是數學化定義的例子：
1. 可以被 2 整除的整數稱為「偶數」，無法被 2 整除的整數稱為「奇數」。任何偶數皆可表示為 \(2k\) 的形式，任何奇數皆可表示為 \(2k+1\) 的形式。
2. 任何大於 \(1\) 的整數中，除了 \(1\) 及本身之外沒有其他因數的數，稱為「質數」，否則稱為「合數」。要注意定義中提到，無論「質數」或「合數」都必 須是大於 \(1\)。因此 \(1\) 這個數本身既非質數亦非合數。
3. 在平面上，與一個定點等距離的所有點所形成的圖形，稱為「圓」。此定點稱為此圓的「圓心」、此距離稱為此圓的「半徑」。待同學接觸到了高中數學，還會進一步將此定義以方程式呈現：$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$
4. 三角形的三條「中垂線」的交點稱為「外心」；三條「內角平分線」的交點稱為「內心」；三條「中線」的交點稱為「重心」。這在國中數學第五冊是非常精彩的單元。
公式使用前必須知道如何推導
我在教學的過程中，發現不少學生很喜歡將「公式」掛在嘴邊，好像數學就等於背公式。
什麼是公式？
公式通常是指「將一串常用而複雜的運算，簡化成一個簡單結果」。
其實，公式推導的那些看似複雜的過程，才是本質，記下公式的結果是加快我們計算的速度。
所以兩者都很重要，缺一不可。但是只記結果不管過程，卻是普遍的現象，然而這樣很難真正學好數學。
試想想，如果只會使用公式解題，卻不知公式的由來，那麼忘記公式就真的束手無策了。
反之，如果知道公式的推導方式，即使公式忘了，還是可以慢慢推敲，雖然做得慢一點但還是做得出來。
這才是正確的學習方式。
所以學習數學，必須能夠快速推導每個公式，然後熟記「常用」的公式加快解題速度。
然而，有些學生會說他都用背公式來解題，也不會推導公式，考出來也不差呀！
那是因為國中數學的公式還不算太多，題型也相對單純，應付考試還過得去。
上了高中後難度提升許多，這也是為什麼有些同學上了高中後適應不良的原因。
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筆者簡介
我的教學特色
- 我重視與學生的對話(從問題切入課程，耐心聆聽學生想法)
- 遊戲融入教學(實體課堂)
- 數位化教學模式(系統化、自動化教學模式)
我的教學專長
- 國中數學、國中會考複習、國中資優數學
- 高中數學、高中學測指考複習
- 大學微積分、微積分轉學考
