圓周率π的奇妙世界-神奇常數的探索之旅

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你是否還記得，我之前寫的一篇文章，標題為「從最美的數學公式找尋數學發展的脈絡」，

這個最美的公式就是 $$e^{i\pi}+1=0$$ 串連了五個非常重要的常數 $0, 1, i, \pi, e$。

每個常數都有各自豐富的故事，其中圓周率 $\pi$ 是我認為最不簡單的。

圓周率，顧名思義，就是與「圓」相關的常數，

國小時，老師說這個數是 $3.14$，上了國中後，老師說不能寫成 $3.14$，應該要用符號 $\pi$ 來表示。

$\pi$ 與 $\sqrt{2}$、$e$ 同樣都是無理數，我們日前也已證明後兩者。

然而，$\pi$ 是無理數的證明困難許多，
一直到 1761 年，才由數學家朗伯(Johann Heinrich Lambert)透過連分數證明出來。

另外，與 $\sqrt{2}$ 這種無理數還有一個本質上的差異：$\pi$ 是一個「超越數」。

什麼是超越數呢？

就是它不是任何整係數多項式方程式的根。

與之相對的稱為「代數數」，必定為某個整係數方程式的根。

顯然 $\sqrt{2}$ 是方程式 $x^2-2=0$ 的一根，因此它是一個代數數。

想要對圓周率有比較清楚的了解，則必須藉助微積分將其量化。

因此這篇文章，我們會開始觸及到一些高等數學的內容。

開始吧！

圓周率 $\pi$ 是如何被發現的？

你可以拿一個圓柱形的杯子，然後再拿一條繩子將杯子繞一圈。

接著拿出你的尺，量一下這個圓圈的直徑 $D$ 以及用到的繩長 $C$。

過程中一定會有誤差，沒關係。

接著將這兩個數據相除，你會發現這個比值大約是 $3.14$：$$\frac{C}{D}\approx 3.14$$

無論你拿哪一個圓柱形的杯子，用此方式測量，會發現這個比值是一樣(或接近)的。

這個比值就是我們說的圓周率。

至此，我們對於圓周率的理解還是非常粗淺。

你還記不記得，我們在課堂上朗朗上口的圓面積、圓周長公式：$$圓面積=\pi\cdot r^2, \ 圓周長=2\pi\cdot r$$

到了高中第四冊，講到空間概念的時候，還會提到球的體積及表面積公式：$$球體積=\frac{4}{3}\pi r^3,\ 球表面積=4\pi r^2$$

但是你有想過為什麼嗎？

當然，用微積分就可以輕易推導出來，這是最嚴謹的方法，牛頓與萊布尼茲的發明真偉大。

但是我們也可以用比較直觀的方法進一步理解：切匹薩

我們將這個圓切成八等份後，重新排列如下：

是不是看起來有點像平行四邊形，如果我們已經知道圓周長為 $2\pi\times r$，
那麼這個看起來有點像平行四邊形的圖形面積很像 $\pi r\times r = \pi\times r^2$

這也差太多了吧？

沒關係，再切得更細一點，就會更像了

再繼續切，你有沒有發現，愈來愈像一個長為 $\pi r$、寬為 $r$ 的長方形？

雖然這樣不嚴謹，但還挺好玩的。

你覺得還可以怎麼切？

剛剛是切匹薩，這次我們來切洋蔥(食物總是讓人比較有印象)

考慮一個有很多同心環且半徑為 $r$ 的大圓，將這個大圓從中心點上方切開，然後將這些環全部拉直。

這可能須要你的一些想像力。

然後就可以排成一個看起來挺像是三角形的形狀。

這個三角形的底為 $2\pi r$、高為 $r$，因此面積為 $\pi r^2$

但是我們無法確認這個三角形的兩邊是否為直線，因此還是存在誤差。
隨著愈切愈細，這個誤差就會愈來愈小。

好玩嗎？

國小老師曾經告訴我們，圓周率是 $3.14$，這雖然不是一個精確的數字，
但是是怎麼冒出來的？

先來點開胃菜：要如何證明 $3<\pi<4$？

首先，考慮一個邊長為 $2$ 的正方形，剛好可以包住半徑為 $1$ 的圓，並且圓可以包住邊長為 $1$ 的正六邊形：

因此這個圓的面積小於正方形的面積：$\pi\cdot 1^2 < 4$，周長大於正六邊形的周長：$2\pi > 6$

因此 $$ 3< \pi <4 $$

這是個很粗淺的估計

那麼如果將圓外切的正方形改成圓外切的正六邊形會如何呢？

圓外切六邊形的面積＝$\Delta OAB$ 面積的 $12$ 倍。因此 $$\frac{1}{2}\cdot 1\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 12 > \pi$$

因此我們可以得到更精準的估計：$$\pi < 2\sqrt{3}$$

按照這個方式，如果我們不斷做這個圓的內接和外切正多邊形，那麼估計是不是會更精準呢？

有位數學家，阿基米德就真的做了這件事：

他持續作 12、24、48、96 邊的內接和外切正多邊形，因此導出 $$3.14103 < \pi < 3.14271$$ 以及一個不等式：$$3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}$$

這真的需要無比的耐心。

耐心是學好數學的基本裝備，家長不妨觀察一下，喜歡數學的小孩通常都比較有耐心。

圓周率的故事，不是一篇小文章講得完的，之後的主題一定會持續與之關聯。

最後來複習一下基礎的微積分作為結束。

如何精準計算出圓的面積呢？

首先寫出圓心為 $O$，半徑為 $r$ 的圓方程式：$x^2+y^2=r^2$

接著，算出函數 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ 與 $x$ 軸圍出的區域面積：

$$\begin{aligned}
圓面積 &= 2\int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}dx \\
&=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2(1-sin^2\theta)}\cdot rcos\theta d\theta , \ \ \ \ (x=rsin\theta)\\
&=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r^2 cos^2\theta d\theta \\
&=2r^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+cos2\theta}{2}d\theta \\
&= r^2(\theta+\frac{1}{2}sin2\theta)|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\pi r^2
\end{aligned}$$

這個公式在高中就會提到，因此推導過程先略過。

但是圓周長的部份，高中課本沒有特別提，公式的由來要先知道一下。

首先，先令 $y=f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$，並且將區間 $[-r,r]$ 作一個分割：$$\{-r=x_0, x_1, x_2, …, x_n=r\}$$

我們在每一個小區間裡求圓上兩點的連線段長：

$$\begin{aligned}
\overline{AB} &= \sum_{i=0}^{n-1}\sqrt{(x_i-x_{i+1})^2+(f(x_i)-f(x_{i+1}))^2} \\
&= \sum_{i=0}^{n-1}\sqrt{1+(\frac{f(x_i)-f(x_{i+1}}{x_i-x_{i+1})})^2}(x_i-x_{i+1})
\end{aligned}$$

當然這樣算出來會有誤差，但隨著分割愈來愈細，誤差就會愈來愈小。

接著取極限：令 $n\rightarrow\infty$ 可得
$$\begin{aligned}
圓周長 &= 2\int_{-r}^r \sqrt{1+f'(x)^2}dx \\
&=2\int_{-r}^r \sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx \\
&= 2\int_{-r}^r \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}dx \\
&=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{r}{rcos\theta}\cdot rcos\theta d\theta \ \ \ (令x=rsin\theta) \\
&=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r d\theta = 2\pi r
\end{aligned}$$

球體積的部份，則是要算旋轉體體積：
將函數 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ 繞著 $x$ 軸旋轉一圈可得體積 $V$

$$\begin{aligned}
V &= \pi\int_{-r}^r (r^2-x^2) dx \\
&= \pi (r^2x-\frac{x^3}{3}) |_{-r}^r \\
&= \frac{4}{3}\pi r^3
\end{aligned}$$

最後，來看看球的表面積是如何計算出來的。

球是一種曲面，我們可以想像成切西瓜。

假設這個西瓜是完美的球形，而且切得非常薄，薄得像一個半徑為 $r_i$ 的圓形：

每個圓形的周長為 $2\pi r_i$，其中 $r_i=f(x_i)$

接著將這些圓周長不間斷地一片片接起來，每一片的表面積為
$$2\pi r_i\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2} =2\pi r_i\sqrt{1+(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i})^2} \Delta x_i$$ 設 $y=f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$，則
$$\begin{aligned}
圓表面積&= \ \int_{-r}^r 2\pi f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} dx \\
&= 2\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}dx \\
&= 2\pi \int_{-r}^r r dx = 2\pi \cdot 2r^2 = 4\pi r^2
\end{aligned}$$

關於圓周率的故事，到這裡先打住。還有很多故事，以後慢慢說，祝學習愉快。