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你是否還記得，我之前寫的一篇文章，標題為「從最美的數學公式找尋數學發展的脈絡」，
這個最美的公式就是 e^{i\pi}+1=0 串連了五個非常重要的常數 0, 1, i, \pi, e。
每個常數都有各自豐富的故事，其中圓周率 \pi 是我認為最不簡單的。
圓周率，顧名思義，就是與「圓」相關的常數，
國小時，老師說這個數是 3.14，上了國中後，老師說不能寫成 3.14，應該要用符號 \pi 來表示。
\pi 與 \sqrt{2}、e 同樣都是無理數，我們日前也已證明後兩者。
然而，\pi 是無理數的證明困難許多，
一直到 1761 年，才由數學家朗伯(Johann Heinrich Lambert)透過連分數證明出來。
另外，與 \sqrt{2} 這種無理數還有一個本質上的差異：\pi 是一個「超越數」。
什麼是超越數呢？
就是它不是任何整係數多項式方程式的根。
與之相對的稱為「代數數」，必定為某個整係數方程式的根。
顯然 \sqrt{2} 是方程式 x^2-2=0 的一根，因此它是一個代數數。
想要對圓周率有比較清楚的了解，則必須藉助微積分將其量化。
因此這篇文章，我們會開始觸及到一些高等數學的內容。
開始吧！
圓周率 \pi 是如何被發現的？
你可以拿一個圓柱形的杯子，然後再拿一條繩子將杯子繞一圈。
接著拿出你的尺，量一下這個圓圈的直徑 D 以及用到的繩長 C。
過程中一定會有誤差，沒關係。
接著將這兩個數據相除，你會發現這個比值大約是 3.14：\frac{C}{D}\approx 3.14
無論你拿哪一個圓柱形的杯子，用此方式測量，會發現這個比值是一樣(或接近)的。
這個比值就是我們說的圓周率。
至此，我們對於圓周率的理解還是非常粗淺。
你還記不記得，我們在課堂上朗朗上口的圓面積、圓周長公式：圓面積=\pi\cdot r^2, \ 圓周長=2\pi\cdot r
到了高中第四冊，講到空間概念的時候，還會提到球的體積及表面積公式：球體積=\frac{4}{3}\pi r^3,\ 球表面積=4\pi r^2
但是你有想過為什麼嗎？
當然，用微積分就可以輕易推導出來，這是最嚴謹的方法，牛頓與萊布尼茲的發明真偉大。
但是我們也可以用比較直觀的方法進一步理解：切匹薩
我們將這個圓切成八等份後，重新排列如下：
是不是看起來有點像平行四邊形，如果我們已經知道圓周長為 2\pi\times r，
那麼這個看起來有點像平行四邊形的圖形面積很像 \pi r\times r = \pi\times r^2
這也差太多了吧？
沒關係，再切得更細一點，就會更像了
再繼續切，你有沒有發現，愈來愈像一個長為 \pi r、寬為 r 的長方形？
雖然這樣不嚴謹，但還挺好玩的。
你覺得還可以怎麼切？
剛剛是切匹薩，這次我們來切洋蔥(食物總是讓人比較有印象)
考慮一個有很多同心環且半徑為 r 的大圓，將這個大圓從中心點上方切開，然後將這些環全部拉直。
這可能須要你的一些想像力。
然後就可以排成一個看起來挺像是三角形的形狀。
這個三角形的底為 2\pi r、高為 r，因此面積為 \pi r^2
但是我們無法確認這個三角形的兩邊是否為直線，因此還是存在誤差。
隨著愈切愈細，這個誤差就會愈來愈小。
好玩嗎？
國小老師曾經告訴我們，圓周率是 3.14，這雖然不是一個精確的數字，
但是是怎麼冒出來的？
先來點開胃菜：要如何證明 3<\pi<4？
首先，考慮一個邊長為 2 的正方形，剛好可以包住半徑為 1 的圓，並且圓可以包住邊長為 1 的正六邊形：
因此這個圓的面積小於正方形的面積：\pi\cdot 1^2 < 4，周長大於正六邊形的周長：2\pi > 6
因此 3< \pi <4
這是個很粗淺的估計
那麼如果將圓外切的正方形改成圓外切的正六邊形會如何呢？
圓外切六邊形的面積＝\Delta OAB 面積的 12 倍。因此 \frac{1}{2}\cdot 1\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 12 > \pi
因此我們可以得到更精準的估計：\pi < 2\sqrt{3}
按照這個方式，如果我們不斷做這個圓的內接和外切正多邊形，那麼估計是不是會更精準呢？
有位數學家，阿基米德就真的做了這件事：
他持續作 12、24、48、96 邊的內接和外切正多邊形，因此導出 3.14103 < \pi < 3.14271 以及一個不等式：3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}
這真的需要無比的耐心。
耐心是學好數學的基本裝備，家長不妨觀察一下，喜歡數學的小孩通常都比較有耐心。
圓周率的故事，不是一篇小文章講得完的，之後的主題一定會持續與之關聯。
最後來複習一下基礎的微積分作為結束。
如何精準計算出圓的面積呢？
首先寫出圓心為 O，半徑為 r 的圓方程式：x^2+y^2=r^2
接著，算出函數 y=\sqrt{r^2-x^2} 與 x 軸圍出的區域面積：
\begin{aligned} 圓面積 &= 2\int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}dx \\ &=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2(1-sin^2\theta)}\cdot rcos\theta d\theta , \ \ \ \ (x=rsin\theta)\\ &=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r^2 cos^2\theta d\theta \\ &=2r^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+cos2\theta}{2}d\theta \\ &= r^2(\theta+\frac{1}{2}sin2\theta)|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\pi r^2 \end{aligned}
這個公式在高中就會提到，因此推導過程先略過。
但是圓周長的部份，高中課本沒有特別提，公式的由來要先知道一下。
首先，先令 y=f(x)=\sqrt{r^2-x^2}，並且將區間 [-r,r] 作一個分割：\{-r=x_0, x_1, x_2, …, x_n=r\}
我們在每一個小區間裡求圓上兩點的連線段長：
\begin{aligned} \overline{AB} &= \sum_{i=0}^{n-1}\sqrt{(x_i-x_{i+1})^2+(f(x_i)-f(x_{i+1}))^2} \\ &= \sum_{i=0}^{n-1}\sqrt{1+(\frac{f(x_i)-f(x_{i+1}}{x_i-x_{i+1})})^2}(x_i-x_{i+1}) \end{aligned}
當然這樣算出來會有誤差，但隨著分割愈來愈細，誤差就會愈來愈小。
接著取極限：令 n\rightarrow\infty 可得
\begin{aligned} 圓周長 &= 2\int_{-r}^r \sqrt{1+f'(x)^2}dx \\ &=2\int_{-r}^r \sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx \\ &= 2\int_{-r}^r \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}dx \\ &=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{r}{rcos\theta}\cdot rcos\theta d\theta \ \ \ (令x=rsin\theta) \\ &=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r d\theta = 2\pi r \end{aligned}
球體積的部份，則是要算旋轉體體積：
將函數 y=\sqrt{r^2-x^2} 繞著 x 軸旋轉一圈可得體積 V
\begin{aligned} V &= \pi\int_{-r}^r (r^2-x^2) dx \\ &= \pi (r^2x-\frac{x^3}{3}) |_{-r}^r \\ &= \frac{4}{3}\pi r^3 \end{aligned}
最後，來看看球的表面積是如何計算出來的。
球是一種曲面，我們可以想像成切西瓜。
假設這個西瓜是完美的球形，而且切得非常薄，薄得像一個半徑為 r_i 的圓形：
每個圓形的周長為 2\pi r_i，其中 r_i=f(x_i)
接著將這些圓周長不間斷地一片片接起來，每一片的表面積為
2\pi r_i\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2} =2\pi r_i\sqrt{1+(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i})^2} \Delta x_i 設 y=f(x)=\sqrt{r^2-x^2}，則
\begin{aligned} 圓表面積&= \ \int_{-r}^r 2\pi f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} dx \\ &= 2\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}dx \\ &= 2\pi \int_{-r}^r r dx = 2\pi \cdot 2r^2 = 4\pi r^2 \end{aligned}
關於圓周率的故事，到這裡先打住。還有很多故事，以後慢慢說，祝學習愉快。
老師好!
????
你的名字也太長了，不如取個筆名吧。
以後就叫你阿朗好了~