很多人在中學時數學成績優異，
但一進入大學，卻彷彿踏入全然不同的世界。

為什麼會這樣？

因為中學數學強調的是直觀與演算技巧，
而大學數學則更重視邏輯推理與抽象思考。

在中學，講求計算熟練、題型熟悉，再搭配一些考試技巧。
但大學數學要求學生進一步理解「為什麼這樣做是對的」，
甚至要自己動手寫出一連串嚴謹的證明。

中學數學學得好，對於學習大學數學的確會有幫助，
但是想要駕馭大學數學，還要下一番苦功。

關鍵在於思維方式

進入課堂：最大公因數

在國小課程中，我們就已經接觸過「最大公因數」的概念。
也練習過怎麼列出因數、找出共同的、選出最大的。

那麼，現在我們回到這個熟悉的概念，
來快速複習一下什麼是最大公因數，
並進一步思考──
這個看似簡單的主題，
背後是否藏著更深一層的邏輯與結構？

何謂最大公因數？

➤生活化引導（啟發式）

你有沒有遇過這樣的情況──
兩個人買糖果，一人買了 12 顆，另一人買了 18 顆，
想要平均分成一樣的堆數，且每一堆都剛好分完，
這時最多能分幾堆？

答案就是：兩個數的最大公因數。
因為只有在「同時整除」的情況下，才不會有剩。

➤國中程度的基本定義（直觀 + 舉例）

最大公因數是指「兩個整數的所有公因數中，最大的一個」。

📌 舉例說明：

12 的因數有：1, 2, 3, 4, 6, 12
18 的因數有：1, 2, 3, 6, 9, 18
這兩個整數的「公因數」是：1, 2, 3, 6
所以，它們的最大公因數是 6。

12 的因數有：1, 2, 3, 4, 6, 12
18 的因數有：1, 2, 3, 6, 9, 18
這兩個數的「公因數」是：1, 2, 3, 6
所以，它們的最大公因數是 6。

➤邏輯式定義（銜接進階學習）

對任意兩個不同時為 $0$ 的整數 $a$ 和 $b$，
若某個整數 $d$ 同時整除 $a$ 與 $b$，且是這樣的整數中最大的，
我們就稱 $d$ 為 $a$ 和 $b$ 的最大公因數，記作： $$gcd(a,b)=d$$

除了直觀的定義，最大公因數有更細緻的刻劃 $$(a,b)=min\{ma+nb: m, n \in Z, ma+nb>0\}$$ 也就是說，$a$、$b$ 的最大公因數就是其整數線性組合當中，最小的正數值。

所謂整數線性組合指的是形如 $ax+by$ 的數，其中 $x$、$y$ 為任意整數。

而這些組合所能產生的正整數當中，最小的那一個，正好就是 $a$ 與 $b$ 的最大公因數。

這不是巧合，而是數論中的一個事實，雖然不難，但與中學數學已有很大的不同。

首先，令集合 $$A=\{ma+nb: m, n \in Z, ma+nb>0\}$$

因為 $a$、$b$ 不同時為 $0$，不失一般性，設 $a\neq 0$

那麼 $$1\cdot a + 0 \cdot b >0 \ \ or \ \ -1\cdot a+0\cdot b >0$$ 也就是說集合 $A$ 是非空集合。
由良序原理 (Well-Ordering Principle) 可知，集合 $A$ 有一個最小元素 $d$， $$d:=min\{ma+nb: m, n \in Z, \ ma+nb>0\}$$
因此，存在整數 $m’, n’$ 使得 $$d=m’a+n’b$$ 接下來驗證 $d$ 是 $a$ 與 $b$ 的公因數

由除法原理可知，存在兩整數 $q$、$r$ 使得 $$a = dq+r, \ \ 0\leq r < d \tag{1}$$
$$\begin{aligned} r &= a-dq \\ &= a-(m’a+n’b)q \\ &= (1-m’q)a-qn’b \end{aligned}$$ 因此 $r$ 也是整數 $a$、$b$ 的整數線性組合。

但是 $0\leq r < d$ 且 $d$ 是 $a$、$b$ 整數線性組合中的正數中最小的一個，因此 $r=0$

由第(1)式可知 $$a=dq$$ 則 $$d|a$$ 同理可得 $$d|b$$ 也就是說，$d$ 是整數 $a$、$b$ 的公因數

接下來驗證，$d$ 是 $a$ 與 $b$ 的最大公因數

令 $c$ 是 $a$ 與 $b$ 的公因數，進而 $$c|a\ , c|b$$ 則 $$c| m’a+n’b$$ 即 $$c\leq d \ \ \ 得證$$

有沒有發現，中學數學很少(甚至沒有)這種論證方式。

在中學階段，數學教育多半強調計算技巧與題型練習，
主要目標是為了考試，重視的是「會算」；

而到了大學，尤其是進入數學或理工科系，
學習的重點卻轉向了邏輯推理與形式證明，也就是「會證明」。

中學幾乎不涉及以下幾種常見的數學論證方式：

➤對換論證（Contrapositive）：
這是數學中常見且有效的一種邏輯推理方式。
它的核心在於這個邏輯的等價關係：
若命題為：「若 $P$，則 $Q$」
則它的對換為：「若非 $Q$，則非 $P$」
這兩個命題邏輯上是等價的。

➤存在性與唯一性證明
這是在數學中用來處理這類命題的推理方式：
✅「存在性」：至少有一個符合條件的對象存在。
✅「唯一性」：至多只有一個符合條件的對象存在。

✨ 所以兩者合起來就是：唯一存在

一般的寫法架構

要證明「某個物件存在且唯一」，通常分兩步驟：

唯一性證明（Uniqueness Proof）：
假設有兩個符合條件的對象，然後證明它們其實相等，
從而推出「只有一個這樣的對象」。

存在性證明（Constructive Proof）：
展示一個具體的例子，或用邏輯推導出「某物存在」。

➤集合與邏輯語言精確表述
簡單來說，就是：
用「集合」與「邏輯符號」來準確地描述數學命題的內容與邏輯結構，
避免語意模糊、誤解或多義性。
這篇文章中提到的最大公因數的另一種表達方式就是這個例子。

因此，很多中學成績優異的學生，到了大學數學課卻感到挫折，
就是因為習慣了解題技巧與套路，
卻沒有經歷過「為什麼這樣做是對的」的訓練。

而這也是我在課堂上，時常跟學生強調的重點：

不只是多做幾題，而是要多問幾個「為什麼」。

為什麼這個公式成立？
為什麼這個步驟可以這樣做？
為什麼要這樣定義，而不是那樣？
為什麼錯了？錯在哪裡？錯得有價值嗎？

數學不是只靠記憶力的科目，而是靠理解力的訓練。
保持好奇的態度，多問幾個「為什麼」，
你就多深入一層，不再只是在表面算答案，
如此才有助於建立起屬於自己的數學思維，
為將來進入更高階的學習做好準備。

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