【教學分享】高中數學|第二冊|第1章數列|費氏數列

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前言

在國中數學第四冊、高中數學第二冊介紹數列的定義時，都會舉一個有趣的例子：$$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … $$
接著讓學生觀察其規則後，寫出下一項。然而，這是個有著豐富且深刻內涵的數列，在課堂上礙於進度壓力，無法緩下來解說，實在可惜。網路上資料琳瑯滿目，又講得太深太廣，沒有老師的引領，學生難以理解。我去年在學校開設多元選修課時，特別將此主題納入授課大綱，搭配一些youtube影片，解說此數列的歷史與大自然巧妙的關聯性，增添課程的趣味。只是當時為了提到「費氏數列」與「黃金比例」的關聯，太快引入極限的概念，學生不免感到吃力。

因此，這一篇文章，我又重新整理了一次，由淺入深編排，希望可以將內容修飾成適合國中生、高中生甚至大一學生閱讀的材料。並且錄製成影片解說，彌補文字敘述的不足之處。

費氏數列起源

費氏數列，又稱為費波那契數列，是由意大利數學家費波那契(Leonardo Fibonacci, 1175-1250)在他的《算盤書》中提出。他描述免子生長的數目，以下述規則繁衍：

第一個月初有一對剛誕生的免子
第二個月之後(第三個月初) 牠們才可以生育，並且於每個月生下一對免子
免子永不死去

按照此規則

第一個月有1對免子A1
第二個月仍只有1對免子A1 (尚無法生育)
第三個月會有2對免子 (第1對免子A1及其生下的第2對免子A2)
第四個月會有3對免子(第1對免子A1及其生下的第2、3對免子A2、A3)
第五個月會有5對免子(第1對免子A1及其生下的第2、3、4對免子A2、A3、A4，第2對免子生下的第1對免子A21)
依此規則下去…。

費氏數列中的數稱為「費氏數」

從一道題目開始

知道費氏數列的由來後，我們可以試著思考以下這一道題目：

在費氏數列的前2021項中，有幾項被3除與被7除之後所得的餘數相同？

這個問題在國中的課堂上，引起不少學生的興趣。我接著跟他們說，只要能在放學前想出來，學習表現加10分。正所謂重賞之下必有勇夫，竟然真的有一些學生兩節課後提出正確的解答。

在解釋這一題的解法之前，我順便介紹一個符號：$$a\equiv b \ mod\ p$$
這個式子的意思是，兩個整數 $a$、$b$ 被整數 $p$ 除之所得的餘數相同。換句話說就是 $p$ 整除 $a-b$，符號可記為 $$ p \ |\ a-b $$

我們多列幾個費氏數來觀察一下：$$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …$$

接著列出被3除的餘數 (mod3)

$$1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, …$$

有發現了嗎？原來被3除之後的餘數是有週期性的：$1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0$，每八個數一個循環。

然後再看一下被7除的餘數 (mod7)

$$1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, …$$

被7除之後的餘數也有週期性：$1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, 0$，每十六個數一個循環。

接著再觀察一下，這些數當中有哪幾項是相同的？

原來，每一個16項的循環中，會有7項相同。那麼我們就要去估算一下，2021項當中有幾個循環，並且剩下幾項呢？

$$2021÷16=126…5$$

有126個循環，剩下的5項中有3項相同。因此 $$126\times 7 + 3 = 885$$
總共有 $885$ 項。

從這一道題目，我們似乎可以隱約感受到，費氏數列被任何整數除完後，其「餘數數列」必定具有週期性，留給有興趣的同學去探索，在中學的課堂上就先在此打住。

對於費氏數列的觀察

接下來，我們來觀察費氏數列的前 $n$ 項和：

$$\begin{aligned}
S_1 &= 1 &=1 \\
S_2 &= 1+1 &=2 \\
S_3 &= 1+1+2 &=4 \\
S_4 &= 1+1+2+3 &=7\\
S_5 &= 1+1+2+3+5 &=12\\
S_6 &= 1+1+2+3+5+8 &=20\\
S_7 &= 1+1+2+3+5+8+13 &=33\\
& ……
\end{aligned}$$

可以看到，每項 $S_n$ 與 $F_{n+2}-1$ 是一致的：

$$\begin{aligned}
S_1 &= 1 &=1 &= 2-1 \\
S_2 &= 1+1 &=2 &= 3-1 \\
S_3 &= 1+1+2 &=4 &= 5-1\\
S_4 &= 1+1+2+3 &=7 &= 8-1\\
S_5 &= 1+1+2+3+5 &=12 &= 13-1\\
S_6 &= 1+1+2+3+5+8 &=20 &=21-1\\
S_7 &= 1+1+2+3+5+8+13 &=33 &= 34-1\\
& ……
\end{aligned}$$

在等式的最右側再次出現了連續的費氏數，可以簡單驗證一下：
$$\begin{aligned}
S_n &= F_1+F_2+F_3+F_4+F_5+F_6+F_7+F_8+……+F_n \\
&= (F_3-F_2)+(F_4-F_3)+(F_5-F_4)+(F_6-F_5)+……(F_{n+2}-F_{n+1}) \\
&= F_{n+2}-F_2 = F_{n+2}-1
\end{aligned}$$

再試試偶數項相加：$$F_2+F_4+F_6+…+F_{2n}=? $$
$$\begin{aligned}
F_2+F_4+F_6+…+F_{2n} &= F_1+(F_2+F_3)+(F_4+F_5)+…+(F_{2n-2}+F_{2n-1}) \\
&= F_{2n+1}-1
\end{aligned}$$

那麼奇數項相加又會如何呢？$$F_1+F_3+F_5+…+F_{2n-1}=?$$

同樣的驗證方式：
$$\begin{aligned}
&F_1+F_3+F_5+F_7+……+F_{2n-1} \\
&= F_1+(F_1+F_2)+(F_3+F_4)+(F_5+F_6)+…+(F_{2n-3}+F_{2n-2}) \\
&= F_1+(F_{2n}-1) \\
&= F_{2n}
\end{aligned}$$

至此已經完成費氏數列第一部份的介紹，對於中學生而言，能夠有如此程度的理解，應該就好很多了。
但是課本礙於課綱與篇幅限制，不可能說太多，因此以此篇文章作為學生的閱讀材料，希望有助於提升學習興趣。

最後，放上數感實驗室錄製的影片，可搭配課堂講授使用。