提到迪卡兒，大多數人的第一反應可能是那句響徹哲學史的名言：「我思，故我在」（Cogito, ergo sum）。
這句話奠定了近代哲學的基礎，讓他被譽為「近代哲學之父」。
然而，許多人可能不知道，這位哲學巨擘在數學領域的貢獻，
同樣具有劃時代的意義——甚至可以說，如果沒有他，
我們今天的科技文明可能要晚好幾個世紀才會出現。
看看你手機裡的 Google Maps，看看建築師電腦裡的 CAD 設計圖，再看看股市分析的折線圖。
這些我們習以為常的工具，背後都有一個共同的基礎：直角座標系統（Cartesian Coordinate System）。
沒錯，這個我們從國中數學課就開始畫的 \(X\) 軸與 \(Y\) 軸，正是源自於迪卡兒的創見。
一場關於「蒼蠅」的幾何革命
在迪卡兒之前，數學的世界是分裂的。
當時的數學家主要分為兩派：一派鑽研「代數」，處理抽象的符號與方程式運算；
另一派則傳承自古希臘的歐幾里得，專注於「幾何」，研究圖形的形狀、角度與面積。
這兩者就像是兩條平行線，雖然都是數學，卻老死不相往來。
代數家覺得幾何太依賴直覺，不夠嚴謹；
幾何學家則認為代數只是一堆枯燥的符號，缺乏直觀的美感。
直到 1637 年，迪卡兒出版了著名的《幾何學》（La Géométrie）。
在這本書中，他做了一件前無古人的事：他把代數與幾何徹底結合了起來。
關於這場革命的靈感來源，有一個廣為流傳（雖然可能是後人杜撰，但極具啟發性）的故事：
傳說中，體弱多病的迪卡兒習慣在床上思考。
某個早晨，他躺在床上盯著天花板看，發現一隻蒼蠅在天花板上爬行。
他突然想到一個問題：「我要如何精確地向別人描述這隻蒼蠅的位置？」他意識到，只要以天花板的兩個相鄰邊牆角作為基準線，
測量蒼蠅距離這兩面牆的垂直距離，就能得到兩個數字。
無論蒼蠅爬到哪裡，只要這兩個數字確定了，蒼蠅的位置也就確定了。
這個看似簡單的「定位」想法，就是解析幾何的雛形。
迪卡兒的偉大之處，在於他將幾何圖形「翻譯」成了代數語言。
直線不再只是一條畫在紙上的痕跡，它變成了 $$ax + by = c$$
圓不再只是一個完美的圈，它變成了 $$x^2 + y^2 = r^2$$
「適當的座標化，可有效簡化問題。」 這句話不僅是數學技巧，更是一種思維的升級。
迪卡兒讓我們明白，複雜的幾何難題，可以透過座標系的轉換，變成標準化的代數運算來解決。
他架起了一座橋樑，讓人類可以用「計算」來駕馭「圖形」，
這直接促成了後來牛頓與萊布尼茲微積分的誕生。
臥床思考的特權：把「弱點」變成「優勢」
迪卡兒能有如此深刻的洞見，與他獨特的成長背景密不可分。
他於 1596 年出生在法國一個富裕的律師與醫生世家。
然而，上天給了他優渥的家境，卻沒給他健康的身體。
他自小體弱多病，臉色蒼白，還有乾咳的毛病，醫生甚至曾預言他活不過成年。
因為身體太差，當他 12 歲進入當時歐洲最頂尖的耶穌會學校——拉弗萊什學院（Collège Royal Henry-Le-Grand）
就讀時，校長夏萊神父給了他一項特殊的「特權」：他可以不必像其他學生那樣早起晨禱和上早自習，
允許他睡到自然醒，甚至整天待在床上。
這對當時嚴格的寄宿學校來說簡直是不可思議的例外。
但正是這段「賴床」的時光，成就了迪卡兒。
不像其他孩子在睡眼惺忪中背誦課文，迪卡兒在那些長長的、安靜的早晨裡，
擁有了最奢侈的東西：獨處與思考的時間。
他後來回憶道：「在那些長長的安靜的早晨所進行的沉思，乃是產生我的哲學和數學思想的真正源泉。」
這給了我們現代人一個極大的反思：我們是否太過忙碌了？
在現代社會，忙碌被視為一種美德。
學生從早自習忙到晚自習，下課後還有補習班；
上班族在會議與郵件中疲於奔命。
我們不斷地接收資訊，卻很少留出時間來「反芻」這些資訊。
迪卡兒的故事告訴我們，真正的智慧往往不是在忙碌的書寫中誕生，
而是在安靜的沉思中浮現。
有時候，稍微「慢下來」，甚至「無所事事」一下，
反而是大腦進行深度連結的最佳時刻。
我懷疑，所以我學習：拒絕盲從的勇氣
在拉弗萊什學院，迪卡兒接觸到了當時最先進的學術內容，包括拉丁文、邏輯學、物理學和神學。
然而，這位資優生在畢業時，卻說了一句耐人尋味的話：
「我從老師那裡學到的東西，不如我從懷疑與思考中學到的多。」
這並不是說他狂妄自大，而是他敏銳地發現了當時教育體系的漏洞。
他發現教科書裡的許多理論，往往建立在模糊不清的假設上，
或者是引經據典自古人的權威，缺乏嚴謹的邏輯推導。
他說：「除了數學之外，沒有什麼是確定的。」
這種「懷疑精神」成為了他後來治學的核心方法，
也就是著名的「方法論」（Discourse on the Method）。
他主張，在接受任何真理之前，必須先經過嚴格的懷疑。
他不等待老師告訴他答案，也不依賴書本上的標準解法，
而是試圖從零開始，用自己的理性去推導出整個世界。
反觀現在的教育現場，我們是否失去了這種「懷疑」的能力？
現今補習風氣盛行，許多學生從小就被訓練成「解題機器」。
為了考高分，我們習慣了「填鴨式」的餵養：
- 老師說：「這個公式背起來，考試會考。」學生就背起來。
- 補習班教：「看到這個題目，就套這個解法。」學生就照做。
這種學習方式雖然在短期內能換來分數，但長期來看，
卻扼殺了「舉一反三」的能力。
當學生只知道「怎麼做（How）」，卻不知道「為什麼（Why）」的時候，
一旦題目稍微變形，或是遇到課本以外的未知問題，
他們就會立刻卡住，陷入恐慌。
這就是考試導向教學最大的盲點：只重視效率，卻忽略了理解；
只在乎標準答案，卻犧牲了探索過程。
自主學習：從迪卡兒到現代數學家
如果你細讀迪卡兒的學習歷程，你會發現，他從來不是靠老師「手把手」教會的。
他的數學成就，很大程度上來自於他離開學校後，在遊歷歐洲、參軍、隱居的過程中，
不斷自我對話、自我挑戰的結果。
「自主學習」不是一門掛在課表上的課程，而是一種生活態度，
更是一項需要終生實踐的能力。
這不僅僅是迪卡兒的故事。在我們這個「數學家系列」接下來即將介紹的人物中，
你會發現一個驚人的共通點——無論是「數學王子」高斯（Gauss）、「多產天才」歐拉（Euler），
還是物理與數學的巨人牛頓（Newton），他們幾乎沒有一個人是完全依賴學校教育而成功的。
- 歐拉在視力幾乎喪失的情況下，依然憑藉著強大的心算與記憶力，
推導出無數公式，因為他對數學的熱情超越了身體的障礙。 - 牛頓在 1665 年倫敦大瘟疫期間，學校停課，他被迫回到鄉下老家。
正是在那段沒有老師、沒有同學的「隔離」時光裡，他獨自發明了微積分、發現了萬有引力。 - 高斯小學時就能快速算出 1 到 100 的總和，不是因為老師教過公式，
而是他觀察到了數列的對稱性。
這些偉大的靈魂，都有一個共同特質：不等待制度的安排，不依賴他人的引導，
而是主動尋找問題、勇敢提出假設、獨立進行探索。
結語：成為一個有思考力的學習者
在這個資訊爆炸的 AI 時代，獲取知識已經不再是難題。
你隨時可以在網路上找到微積分的教學影片，
或是查詢解析幾何的公式證明。
我們缺少的不是知識，而是像迪卡兒那樣的「思考力」。
學習數學，不該只是為了應付考試，或是算出一個正確的數字。
數學的本質，是一種邏輯訓練，是一種看世界的方式。
就像迪卡兒透過座標系，看見了幾何圖形背後的代數秩序；
我們也應該透過學習，練習看穿複雜問題背後的本質。
如果你正對學習感到迷惘，覺得每天被考卷追著跑卻不知道意義何在；
或者你已經離開學校多年，覺得大腦逐漸僵化。希望迪卡兒的故事能給你一些啟發：
- 給自己一點「留白」的時間：不要把生活填得太滿，思維需要空間才能奔跑。
- 培養「懷疑」的習慣：不要輕易接受現成的答案，
試著問「為什麼是這樣？」、「有沒有別的方法？」。 - 練習「自主學習」：不要等著別人教你，試著自己去定義問題，並尋找解決方案。
願這一系列的數學家故事，不只是帶你認識歷史上的偉人，
更能夠填補課本有限篇幅裡的空白，點燃你心中那盞理性的燈火。
讓我們像迪卡兒一樣，在座標的交會點上，找到屬於自己的思考定位。
解題指引：選擇適當座標，可有效簡化計算
問題：在三角形\(ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(D\)是\(\overline{BC}\)的中點，
\(E\)是由\(D\)向直線\(AC\)作垂線的垂足而\(F\)是\(\overline{DE}\)的中點，
證明：直線\(\overline{AF}\) 垂直\(\overline{BE}\)
這一題用純幾何處理不是件容易的事，
所以座標化是不錯的選擇，
但是如果沒有選到適當的座標，過程也不會太順利。
例如，你可以試試將 \(D\) 點設為原點，而且 \(A(0,a)\)、\(B(-b,0)、C(b,0)\)，
直線 \(AC\) 的方程式為 $$ax+by=ab \tag{1}$$
因為直線 \(DE\) 與直線 \(AC\) 垂直，且通過點 \((0,0)\)，則直線 \(DE\) 為$$bx-ay=0 \tag{2}$$
由(2)知 \(y=\frac{b}{a}x\) 代入(1) $$ax+b\cdot\frac{b}{a}x=ab$$ 移項整理可得
因此點 \(F\) 的坐標為
接下來計算直線 \(AF\) 與 \(BE\) 的斜率
因此
現在換另一種坐標化，如圖所示：
接著計算似乎簡單了不少：因為
因此，
