在高中數學處理三角不等式時，很多同學的直覺反應是打開和差化積公式，
或者試圖展開運算。
但今天我們要暫時放下代數運算的筆，改用「畫圖」的方式來思考。
這張筆記中的題目，
其實觸及了微積分與凸分析中一個極為核心的概念——凹凸性 (Concavity)。
只要我們能構建出 \( y = \sin x \) 的圖形結構，
這兩個看似複雜的不等式，其實只是一條「弦」與一段「弧」的幾何關係罷了。
核心觀念：弓背上的弦
首先，我們建立幾何場景。
在 \( \triangle ABC \) 中，角度 \( \angle{B} \) 與 \( \angle{C} \) 必定介於 \( 0 \) 到 \( \pi \) 之間（即 \( 0^\circ \) 到 \( 180^\circ \)）。
在這個區間內，函數 \( f(x) = \sin x \) 的圖形是一個「開口向下」的凹函數 (Concave Function)。
想像它像是一座拱橋，或者一把彎弓。
幾何直觀法則： 如果你在拱橋上任取兩點連成一條直線（數學上稱為「弦」），
這條線段上的每一點，高度都一定會 低於或等於 拱橋本身的高度。
這就是解題的全部關鍵。
(a) 中點的幾何證明：尋找 \(M\) 點
我們先來看第一題，這是「中點」的情況，是一個特例。
\[ \frac{\sin B + \sin C}{2} \le \sin \frac{B+C}{2} \]
1. 定位坐標
我們在 \( y = \sin x \) 的圖形上，標記兩個點：
- 點 \( P(B, \sin B) \)
- 點 \( Q(C, \sin C) \)
2. 連接弦 PQ
用一把直尺將 \( P \)、\( Q \) 兩點連起來，形成線段 \( \overline{PQ} \)。
接著，我們找到這條線段的中點，記為 \( M \)。
根據中點坐標公式，\( M \) 的坐標為： \[ M \left( \frac{B+C}{2}, \; \frac{\sin B + \sin C}{2} \right) \] 請注意，
這裡的 \( y \) 坐標（高度），正是題目不等式 左邊 的算式。
3. 對應到函數圖形
接著，我們看對應到同一水平位置（\( x = \frac{B+C}{2} \)）的函數圖形上的點，
記為 \( K \)。 \( K \) 點位於正弦波上，
其坐標為： \[ K \left( \frac{B+C}{2}, \; \sin \frac{B+C}{2} \right) \] 這裡的 \( y \) 坐標（高度），正是題目不等式 右邊 的算式。
4. 視覺結論
因為 \( 0 < \angle {B}, \angle{C} < \pi \)，正弦曲線是向上凸起的。
從圖形上我們可以清楚看見：拱橋上的點 \( K \) ，一定比連線上的中點 \( M \) 來得高（或等高）。
因此，\( y_M \le y_K \)，即證得： \[ \frac{\sin B + \sin C}{2} \le \sin \frac{B+C}{2} \]
（當且僅當 \( B = C \) 時，兩點重合，等號成立。）
(b) 一般化的權重證明：分點公式的威力
接下來我們看第二題，這看起來似乎複雜許多，但它其實只是第一題的「推廣版」。
\[ \frac{m}{m+n}\sin B + \frac{n}{m+n}\sin C \le \sin \left( \frac{mB + nC}{m+n} \right) \]
（註：題目將分母合併寫為 \( \frac{m}{m+n}B + \frac{n}{m+n}C \)，這裡為求清晰將其通分。）
這串式子其實是高一數學中 「分點公式」 (Section Formula) 的標準形式。
1. 解讀權重
題目給定 \( m > 0, n > 0 \)。我們可以把 \( n \) 和 \( m \) 想像成放在 \( P \) 點和 \( Q \) 點的「重量」比例。
我們不再是找中點，而是在線段 \( \overline{PQ} \) 上尋找一個依照 \( n : m \) 比例分割的「內分點」。
2. 再次見證結構
邏輯與第一題完全相同：
- 不等式左邊：這代表的是連線（弦 \( \overline{PQ} \)）上，某個內分點的高度。
- 不等式右邊：這代表的是正弦曲線（弧）上，在同一垂直位置的點的高度。
根據我們一開始建立的幾何直觀法則：「弦在弧下」。
所以，弦上的點高度 \( \le \) 弧上的點高度。得證。
【數學小百科】為什麼正弦波一定是「拱橋」？——凹口向下的嚴謹證明
在剛剛的證明中，我們利用了「正弦函數在 \( 0 \) 到 \( \pi \) 之間凹口向下」這個性質。
但數學講求證據，我們如何確認它中間不會偷偷「塌陷」或「反轉」呢？
我們可以透過兩個視角來確認這件事。
視角一：微積分的二階導數測試 (The Second Derivative Test)
這是最標準、最「硬派」的檢驗方式。
在微積分中，函數的凹凸性是由二階導數 (Second Derivative) 的正負號決定的。
- 若 \( f”(x) > 0 \)：圖形凹口向上（像笑臉 \( \cup \)）。
- 若 \( f”(x) < 0 \)：圖形凹口向下（像哭臉 \( \cap \)）。
讓我們對 \( f(x) = \sin x \) 進行兩次微分：
1.一次微分（切線斜率）： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \] 這告訴我們，
當 \( x \) 從 \( 0 \) 走到 \( \pi \)，斜率從 \( 1 \) （\( \cos 0 \)）
逐漸變為 \( -1 \) （\( \cos \pi \)）。斜率一直在變小，這暗示了圖形是向下彎曲的。
2. 二階微分（斜率的變化率，即凹凸性）： \[ f”(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]
關鍵判定： 我們現在觀察區間 \( x \in (0, \pi) \)。
在這個範圍內，\( \sin x \) 恆為正數（圖形在 \(x\) 軸上方）。 因此，二階導數恆為負數： \[ f”(x) = -\sin x < 0 \]
3. 結論： 因為二階導數在整個區間內都小於零，
這證明了 \( y = \sin x \) 在 \( (0, \pi) \) 上嚴格地凹口向下。
視角二：單位圓的幾何直觀 (The Unit Circle Intuition)
如果你還沒學過微積分，我們可以用高一的「單位圓」來看，這更能展現「結構感」。
想像一個半徑為 1 的圓。\( \sin x \) 代表的是圓上動點的 垂直高度 (\(y\) 坐標)。
- 爬升的速度： 當角度 \( x \) 從 \( 0 \) 開始增加時，動點從圓的最右端 \( (1, 0) \) 往上爬。
- 一開始（接近 \( 0 \) 度），圓弧幾乎是垂直往上的，高度增加得很快。
- 越接近頂點（接近 \( \frac{\pi}{2} \)），圓弧變得平緩，高度增加得越來越慢。
- 變化的趨勢： 「高度增加得越來越慢」，這意味著圖形的成長力道在衰退。
在幾何圖形上，這種「成長趨緩」的表現形式，就是曲線會向內彎曲，形成一個蓋子狀的弧形。
看見結構： 因為圓本身就是最完美的「外凸」圖形，正弦波只是將圓周運動隨著時間展開的軌跡。
既然圓是凸的，它展開後的波形在上半周自然也是凹口向下（凸起）的。
Gim 老師的教學後記
這兩道題目在數學上其實是 琴生不等式 (Jensen’s Inequality) 在凹函數上的具體展現。
但我不希望大家只記住這個名詞。我希望你們記住的是那個「拱橋」的畫面。
數學的學習有時候需要跳脫符號的運算，退後一步，看看整體的幾何結構。
當你看見了結構，解題的思路往往就會像那條弦一樣，清晰而筆直地展現在你面前。
