從「會算」到「會想」── 6n−1質數的故事
你或許聽過一個古老的數學命題：「質數有無限多個。」
這個結論來自兩千多年前的希臘數學家歐幾里得。
他的證明方法十分聰明——假設質數只有有限多個，
然後用它們的乘積再加 1，結果就產生了一個更大的整數，
這個數必定被某個質數整除，因此得出「此質數為1的因數」這樣錯誤的結論。
因此假設錯誤，質數應該有無限多個。
這是高中生也能看懂、卻是中學階段很少看到的邏輯論證過程。
但今天我們想問一個進階版本的問題：
如果只看某一種特定形式的質數，例如 \(6n−1\)（也就是除以 \(6\) 餘 \(5\) 的數），
它們也會是無限多個嗎？
像 \(5\)、\(11\)、\(17\)、\(23\)、\(29\)……都是這一型。
這種形式的質數數量比較少，難道這樣的質數也永遠數不完嗎？
要回答這個問題，先得弄清楚：為什麼要考慮「\(6n\pm 1\)」？
其實每個整數都可以寫成 \(6k\)、\(6k+1\)、\(6k+2\)、\(6k+3\)、\(6k+4\) 或 \(6k+5\) 其中一種形式。
可是形如 \(6k\)、\(6k+2\)、\(6k+3\)、\(6k+4\) 的整數，
都會被 \(2\) 或 \(3\) 整除，因此不可能是質數。
唯有 \(6k+1\) 和 \(6k+5\)（也就是\(6k−1\)） 有機會成為質數。
換句話說，除了 \(2\) 和 \(3\) 之外，所有質數都藏在「\(6n\pm 1\)」的隊伍裡。
我們要研究的「\(6n−1\) 型質數」正是其中一種。
接下來，讓我們模仿歐幾里得那一招，看看這個命題為何是正確的？
歐幾里得用「乘起來加一」，得到一個新的數。
但這裡我們得小心一點——因為我們想保持「\(6n−1\)」這個型態，
加一或減一的選擇會讓結果差很大。
這時就需要一點「模運算」的觀念。
在高中，我們會說「除以\(6\)餘幾」；
到了高等數學，這會被寫成「\(a \equiv b \ (mod 6)\)」。
這種思考方式稱作「模 \(6\) 的世界」。
在這個世界裡，\(6n−1\) 型的數都屬於「餘 \(5\)」的那一類。
而如果我們能構造出一個新的數，
既不被已知的 \(6n−1\) 型質數整除，又在 mod \(6\) 下仍同餘 5，
那就代表一定還有新的 \(6n−1\) 型質數存在。
這樣的推理精神，就是從高中邏輯邁向數論思維的橋樑。
接下來，我們開始進行這個有趣也不會太困難的證明吧：
若 \(p\) 是大於 \(3\) 的質數，則 $$p\equiv 1 \ \ or\ \ 5 \ \ (mod \ 6)$$
假設僅存在有限多個形如 \(6n-1\) 之質數，且 \(q\) 是這些質數當中最大者。
考慮 $$N = q!-1$$ 將 \(N\) 寫成質因數分解 $$N=p_1p_2…p_m$$
觀察得之，$$p_i > q, 1\leq i \leq m$$
咦，看起來不太明顯，再用反證法看一下，
若存在其中一個質數 \(p_k\leq q\), \(1\leq k\leq m\)，則 $$q!\equiv 0 \ (mod\ p_k)$$
為了避免同學這裡看不太懂，再補充說明一下，
$$q! = 1\times 2\times 3\times…\times p_k\times …\times q$$ 也就是說，當 \(p_k\leq q\) 時，\(p_k\) 是 \(q!\) 的因數，因此 \(q!\) 會被 \(p_k\) 整除。
那麼 $$N\equiv -1 \ (mod \ p_k)$$ 如此與 \(p_k\) 為 \(N\) 的質因數互相矛盾。
此時我們確定，每個質數 \(p_i\), \(1\leq i\leq m\) 必定大於質數 \(q\)。
但是 \(q\) 是被 \(6\) 除餘 \(5\) 的質數中最大者，所以質數 \(p_i\) 必定被 \(6\) 除餘 \(1\)。
所以整數 \(N\) 被 \(6\) 除也餘 \(1\)，即$$N\equiv 1 \ (mod\ 6) \Longrightarrow q!-1\equiv 1 \ (mod\ 6) \Longrightarrow q!\equiv 2 \ (mod\ 6)$$
但是，\(q>3\) 時，\(q!\equiv 0 \ (mod\ 6)\)，造成矛盾。
因此形如 \(6n-1\) 的質數有無限多個。
事實上，這個問題早被數論家們徹底解決。
在 \(19\) 世紀，德國數學家 狄利克雷（Dirichlet） 證明出一個驚人的定理：
如果 \(a\) 與 \(d\) 互質，那麼形如 \(a + nd\) 的算術級數中，一定有無限多個質數。
這句話聽起來抽象，但只要代入 \(a=5, d=6\)，
我們就得到想要的結論——
形如 \(6n−1\) 的質數，確實有無限多個！
從「有限假設」到「模6思維」，再到「狄利克雷定理」，
我們其實走完了一趟從高中代數到大學數論的旅程。
在高中，我們學會算；
在更高層次的數學裡，我們學會想。
同樣是一個看似簡單的問題，
背後藏著數學家對「無限」與「規律」的深層理解。
