最近課程進行到第三冊第3章，平面向量的內積。
這一篇文章，我們就從向量的角度出發，
重新認識三角形的四心：重心、內心、外心與垂心。
為了讓後面的推導更順暢，我們先快速回顧四心的幾何定義：
- 重心：三角形三中線的交點
- 內心：三角形三內角平分線的交點
- 外心：三角形三中垂線的交點
- 垂心：三角形三高交點
設 \(a\)、\(b\)、\(c\) 分別為 \(\Delta{ABC}\) 中，\(\angle{A}\)、\(\angle{B}\)、\(\angle{C}\) 的對邊長。
關於重心 \(G\)，我們在課程中已提到：
\begin{aligned}
&(1) \ \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \\
&(2) \ \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}\\
&(3) \ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}
\end{aligned}
這三個式子是等價的，意思是：
只要你能證明其中一個成立，其餘兩個也必然成立。
同樣地，內心 \(I\) 也有這樣的等價關係
\begin{aligned}
&(1) \ \overrightarrow{AI}=\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC} \\
&(2) \ \overrightarrow{OI}=\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{OA}+\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{OB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{OC}\\
&(3) \ a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}
\end{aligned}
這些推導與等價轉換的過程，我們在課程中都已經完整介紹過，
這裡僅作統整與觀念整理。
接下來，我們會繼續以相同的方式，探索外心與垂心，
幫助你建構一個完整的三角形四心向量表示法，
作為同學延伸學習使用。
外心 \(T\)：
\begin{aligned}
&(1) \ \overrightarrow{AT}=\frac{sin2B\cdot\overrightarrow{AB}+sin2C\cdot\overrightarrow{AC}}{sin2A+sin2B+sin2C}\\
&(2) \ \overrightarrow{OT}=\frac{sin2A\cdot\overrightarrow{OA}+sin2B\cdot\overrightarrow{OB}+sin2C\cdot\overrightarrow{OC}}{sin2A+sin2B+sin2C}\\
&(3) \ sin2A\cdot\overrightarrow{TA}+sin2B\cdot\overrightarrow{TB}+sin2C\cdot\overrightarrow{TC}=\overrightarrow{0}
\end{aligned}
為了驗證此性質，我們須要以下引理：
01. 如果 \(P\) 在 \(\Delta ABC\) 的內部，且 \(l, m, n >0\)，\(\Delta ABC(a)\) 表示 \(\Delta ABC\) 的面積，則
$$l\overrightarrow{PA}+m\overrightarrow{PB}+n\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0} \ \
\Leftrightarrow \ \
\Delta{PAB(a)}:\Delta{PBC(a)}:\Delta{PCA(a)}=n:l:m $$
如何證明？
(\(\Rightarrow\) ) 令 $$\overrightarrow{PA’}=l\overrightarrow{PA},\ \overrightarrow{PB’}=m\overrightarrow{PB},\ \overrightarrow{PC’}=n\overrightarrow{PC}$$
則 $$\overrightarrow{PA’}+\overrightarrow{PB’}+\overrightarrow{PC’}=\overrightarrow{0}$$ 即 \(P\) 為 \(\Delta{A’B’C’}\) 之重心，故
$$\Delta{PA’B'(a)}=\Delta{PB’C'(a)}=\Delta{PC’A'(a)}$$ 將線段比例代入可得 $$lm\Delta{PAB(a)}=mn\Delta{PBC(a)}=ln\Delta{PCA(a)} \tag{1}$$ 由第(1)式可知$$\Delta{PAB(a)}:\Delta{PBC(a)}:\Delta{PCA(a)}=n:l:m$$
(\(\Leftarrow\)) 延長 \(AP\) 交 \(\overline{BC}\) 於 \(D\)，則 $$\overline{BD}:\overline{DC}=\Delta{ABP(a)}:\Delta{ACP(a)=n:m}$$
因此 $$\Delta{BPD(a)}=\frac{n}{n+m}\Delta{BCP(a)}$$
進而得出 $$\overline{AP}:\overline{PD}=\Delta{ABP(a):\Delta{BDP(a)=n:\frac{n}{n+m}}\times l}=n+m:l$$
接著，$$\overrightarrow{AP}=\frac{m+n}{n+m+l}\overrightarrow{AD}=
\frac{m+n}{n+m+l}\times(\frac{m}{n+m}\overrightarrow{AB}+\frac{n}{n+m}\overrightarrow{AC})$$ 整理可得
$$\overrightarrow{AP}=\frac{m}{n+m+l}\overrightarrow{AB}+\frac{n}{n+m+l}\overrightarrow{AC}$$
同理，$$\begin{aligned}
\overrightarrow{BP}&=\frac{l}{n+m+l}\overrightarrow{BA}+\frac{n}{n+m+l}\overrightarrow{BC} \\
\overrightarrow{CP}&=\frac{m}{n+m+l}\overrightarrow{CB}+\frac{l}{n+m+l}\overrightarrow{CA}
\end{aligned}$$
最後，$$\begin{align}
l\overrightarrow{PA} + m\overrightarrow{PB} + n\overrightarrow{PC}
&= l \cdot \left( \tfrac{-m}{n+m+l}\overrightarrow{AB} + \tfrac{-n}{n+m+l}\overrightarrow{AC} \right) \\
&\quad + m \cdot \left( \tfrac{-l}{n+m+l}\overrightarrow{BA} + \tfrac{-n}{n+m+l}\overrightarrow{BC} \right) \\
&\quad + n \cdot \left( \tfrac{-m}{n+m+l}\overrightarrow{CB} + \tfrac{-l}{n+m+l}\overrightarrow{CA} \right) = \overrightarrow{0}
\end{align}$$
02. 如果 \(P\) 在 \(\Delta ABC\) 的外部，且 \(l, m, n >0\)，則
$$l\overrightarrow{PA}+m\overrightarrow{PB}-n\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0} \ \
\Leftrightarrow \ \
\Delta{PAB(a)}:\Delta{PBC(a)}:\Delta{PCA(a)}=n:l:m $$ 這部份留給讀者驗證囉。
有了這個引理，我們就可以開始證明囉，為了讓讀者易於閱讀，
我再將驗證目標置於此：
外心 \(T\)：
\begin{aligned}
&(1) \ \overrightarrow{AT}=\frac{sin2B\overrightarrow{AB}+sin2C\overrightarrow{AC}}{sin2A+sin2B+sin2C}\\
&(2) \ \overrightarrow{OT}=\frac{sin2A\overrightarrow{OA}+sin2B\overrightarrow{OB}+sin2C\overrightarrow{OC}}{sin2A+sin2B+sin2C}\\
&(3) \ sin2A\overrightarrow{TA}+sin2B\overrightarrow{TB}+sin2C\overrightarrow{TC}=\overrightarrow{0}
\end{aligned}
在此僅證明銳角三角形的情況，直角與鈍角三角形的情況同樣交給讀者。
設 \(\Delta{ABC}\) 之外接圓半徑為 \(R\)，則
\begin{aligned}
\angle ATB &= 2\angle C,\\
\angle BTC &= 2\angle A,\\
\angle CTA &= 2\angle B.
\end{aligned}
$$\begin{aligned}\triangle TAB(a) : \triangle TBC(a) : \triangle TCA(a)
&= \tfrac{1}{2} R^2 \sin 2C : \tfrac{1}{2} R^2 \sin 2A : \tfrac{1}{2} R^2 \sin 2B \\
&= sin2C:sin2A:sin2B
\end{aligned}$$
由以上引理可知，$$(sin2A)\overrightarrow{TA}+(sin2B)\overrightarrow{TB}+(sin2C)\overrightarrow{TC}=\overrightarrow{0}$$ 有了這個式子，我們就可以經由向量的拆解得出(1)、(2)。
重心 \(H\)：三角形的三高交點
向量性質如下所示：
\begin{aligned}
&(1) \ \overrightarrow{AH}=\frac{tanB\cdot\overrightarrow{AB}+tanC\cdot\overrightarrow{AC}}{tanA+tanB+tanC} \\
&(2) \ \overrightarrow{OH}=\frac{tanA\cdot\overrightarrow{OA}+tanB\cdot\overrightarrow{OB}+tnaC\cdot\overrightarrow{OC}}{tanA+tanB+tanC} \\
&(3) \ tanA\cdot\overrightarrow{HA}+tanB\cdot \overrightarrow{HB}+tanC\cdot\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}
\end{aligned}
如圖：由觀察得知 $$\angle {BHD}=\angle{A},\angle{DHA}=\angle {B},\angle{AHF}=\angle C$$
因而，$$tanA=\frac{\overline{BD}}{\overline{HD}}, tanB=\frac{\overline{AD}}{\overline{HD}}$$ $$\Rightarrow \ \ tanA+tanB=\frac{\overline{BD}+\overline{AD}}{\overline{HD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{HD}}=\frac{c}{\overline{HD}}$$
$$ \overline{HD}=\frac{c}{tanA+tanB}=\frac{c}{\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}}=\frac{ccosAcosB}{sin(A+B)}=\frac{ccosAcosB}{sinC}=2RcosAcosB$$
其中 \(R\) 為 \(\Delta{ABC}\) 之外接圓半徑。
同理：
$$\begin{aligned}
\overline{HE}&=2RcosBcosC \\
\overline{HF}&=2RcosAcosC \\
\end{aligned}$$ 接著看三角形的面積比：
$$\begin{align*}
&\triangle HAB(a) : \triangle HBC(a) : \triangle HCA(a) \\
=&\ \frac{1}{2} \cdot c \cdot \overline{HD} : \frac{1}{2} \cdot a \cdot \overline{HE} : \frac{1}{2} \cdot b \cdot \overline{HF} \\
=&\ \frac{\sin C}{2R} \cdot 2R \cos A \cos B
: \frac{\sin A}{2R} \cdot 2R \cos B \cos C
: \frac{\sin B}{2R} \cdot 2R \cos A \cos C \\
=&\ \tan C : \tan A : \tan B \\
\end{align*}$$
由以上引理可知 $$\tan A \cdot \overrightarrow{HA} +\tan B \cdot \overrightarrow{HB}+ \tan C \cdot \overrightarrow{HC} = = \vec{0}$$
最後由向量的拆解可得(1)、(2)兩式。
這篇文章就寫到這邊，有耐心看完的同學很優秀。
歡迎一同上線學習！
歡迎加入我的【一對一數學線上家教課程】，
我專門幫你規劃「短期衝刺＋題型精練」，
教學科目：國中數學、高中數學
Google Meet 遠距教學＋iPad 手寫畫面同步講解
LINE 群組／1 對 1 回覆提問
我是全職線上數學老師，擅長用淺顯方式幫助學生建立觀念、找出盲點，
不論你是想要系統化學習，還是要補強弱項、衝刺考試，
我都能協助你找到最適合的學習節奏與方法。
曾輔導學生從 40 分進步到 90 分，也陪伴孩子從國中走到大學，
如果你正在找一位用心又穩定的數學老師，歡迎聯絡我(掃描以下QRcode)。
