前言：從「黑盒子」看幾何：115年學測數a第20題
在立體幾何的學習中，我們通常習慣「順向操作」：給你三個邊長向量，你算出體積、算出表面積。
但如果今天情況反過來呢？
試著想像一個神秘的「平行六面體黑盒子」，你看不見它的邊長（稜邊），
只能測量它三個相鄰面（也就是 \( \vec{AB} \times \vec{AD} \) 這種外積向量）的數據。
請問，你有辦法只憑這些「面的資訊」，還原出這個盒子的體積，甚至找出它長得什麼樣子嗎？
這不只是一道計算題，這是物理學與工程學中常見的「逆向還原」思維。
今天我們就透過一道經典試題，來體驗這場優雅的向量推理。
數學史視角：吉布斯的遺產
在進入解題前，值得一提的是，我們今天習以為常的「外積」符號（Cross Product, \( \times \)）與運算體系，
很大程度上歸功於美國數學物理學家 吉布斯 (Josiah Willard Gibbs)。
在 \( 19 \) 世紀末，他為了描述電磁學與力學，
將原本複雜的四元數（Quaternions）簡化為我們現在使用的向量分析。
這道題目的核心——「向量三重積」（Vector Triple Product），
正是吉布斯當年為了處理晶體結構與波動力學所留下的強大工具。
題目解析：看見結構的「骨架」
我們先將題目中的代數資訊，轉化為幾何圖象。
已知平行六面體 \( PQRS-ABCD \)，我們令三個從點 \( A \) 出發的邊向量為：
- \( \vec{u} = \vec{AB} \)
- \( \vec{v} = \vec{AD} \)
- \( \vec{w} = \vec{AP} \)
題目給了我們三個「面的法向量」（注意，外積的幾何意義就是面的面積與法向）：
- 底面向量：\( \vec{u} \times \vec{v} = (-5, 5, 5) \)
- 左側面向量：\( \vec{v} \times \vec{w} = (-2, 0, -4) \)
- 前側面向量：\( \vec{w} \times \vec{u} = (6, -10, -8) \)
- 已知條件：\( |\vec{w}| = |\vec{AP}| = 6 \)
我們的目標有兩個：
- 算出體積 \( V \)。
- 找出從 \( A \) 點出發，這個六面體上最遠的點距離是多少？
關鍵直觀：面與面的交線，就是稜邊！
這題最迷人的地方在於：如何從「面」推回「邊」？
請閉上眼睛想像一下：平行六面體的「左側面」和「前側面」相交在哪裡？
沒錯，它們相交於公共邊 \( \vec{w} \)（也就是 \( \vec{AP} \)）。
在數學上，這意味著：如果我們把「左側面的法向量」與「前側面的法向量」再做一次外積，
產生的新向量會垂直於這兩個法向量，也就是說，它會平行於它們的公共稜邊 \( \vec{w} \)！
這就是向量三重積的幾何威力：
\[ (\vec{v} \times \vec{w}) \times (\vec{w} \times \vec{u}) \parallel \vec{w} \]
步驟一：優雅地算出體積
根據上述直觀，我們直接計算兩個已知面向量的外積： 令 \( \vec{N_2} = (-2, 0, -4) \)，\( \vec{N_3} = (6, -10, -8) \)。
為了避免計算失誤，我們將其寫成三階行列式展開運算：
\[ \vec{N_2} \times \vec{N_3} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \cr -2 & 0 & -4 \cr 6 & -10 & -8 \end{array} \right| \]
利用降階展開（注意中間項 \( \vec{j} \) 的變號）：
\[ = \bigl(0 – 40\bigr)\vec{i} – \bigl(16 – (-24)\bigr)\vec{j} + \bigl(20 – 0\bigr)\vec{k} \] \[ = -40\vec{i} – (40)\vec{j} + 20\vec{k} \] \[ = (-40, -40, 20) \]
利用向量恆等式，這個結果其實等於： \[ (\vec{v} \times \vec{w}) \times (\vec{w} \times \vec{u}) = V \cdot \vec{w} \]
（這裡的 \( V \) 是體積，幾何上因為這個向量指向 \( \vec{w} \) 方向，且大小放大至 \( V \) 倍）。
我們取絕對值來觀察：
\[ |\vec{N_2} \times \vec{N_3}| = V \times |\vec{w}| \]
計算左邊的長度：
\[ \sqrt{(-40)^2 + (-40)^2 + 20^2} = 20\sqrt{4+4+1} = 20 \times 3 = 60 \]
已知 \( |\vec{w}| = 6 \)，代入公式：
\[ 60 = V \times 6 \]
\[ \Longrightarrow \mathbf{V = 10} \]
體積為 \( 10 \)，第一關破解！
步驟二：還原三邊長（逆向工程）
有了體積 \( V=10 \)，我們就能利用上面的關係式，瞬間解出三邊向量 \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \)。
1. 求 \( \vec{w} \)：
我們已知 \( (-40, -40, 20) = V \cdot \vec{w} = 10 \vec{w} \)。
\[ \vec{w} = \frac{1}{10}(-40, -40, 20) = (-4, -4, 2) \]
（驗算：\( |\vec{w}| = \sqrt{16+16+4} = 6 \)，正確！）
2. 求 \( \vec{u} \)（利用循環輪替）： 利用 \( \vec{N_3} \times \vec{N_1} = V \cdot \vec{u} \)。
\( \vec{N_3} = (6, -10, -8) \)，\( \vec{N_1} = (-5, 5, 5) \)。
\[ \vec{u} = \frac{1}{10}(\vec{N_3} \times \vec{N_1}) \] 經過計算（讀者可自行練習外積）： \[ \vec{u} = (-1, 1, -2) \]
3. 求 \( \vec{v} \)： 利用 \( \vec{N_1} \times \vec{N_2} = V \cdot \vec{v} \)。
\( \vec{N_1} = (-5, 5, 5) \)，\( \vec{N_2} = (-2, 0, -4) \)。
\[ \vec{v} = \frac{1}{10}(\vec{N_1} \times \vec{N_2}) \] 經過計算： \[ \vec{v} = (-2, -3, 1) \]
至此，我們完全「解剖」了這個六面體：
- \( \vec{u} = (-1, 1, -2) \)，長度平方 \( |\vec{u}|^2 = 6 \)
- \( \vec{v} = (-2, -3, 1) \)，長度平方 \( |\vec{v}|^2 = 14 \)
- \( \vec{w} = (-4, -4, 2) \)，長度平方 \( |\vec{w}|^2 = 36 \)
步驟三：幾何直觀的陷阱（最遠距離）
許多同學到這裡會直覺認為：「平行六面體最遠的點，一定是主對角線 \( \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} \) 吧？」
小心！這是一個幾何陷阱。
最遠點取決於這三個向量之間的「夾角」。
如果三個向量張得很開（鈍角），主對角線確實最長；
但如果夾角有些是鈍角、有些是銳角，向量相加反而可能會「互相抵消」變短。
我們需要檢查頂點的組合。
平行六面體相對於起點 \( A \) 的頂點有：\( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{u}+\vec{v}, \vec{v}+\vec{w}, \vec{w}+\vec{u}, \vec{u}+\vec{v}+\vec{w} \)。
讓我們觀察內積（判斷夾角）：
- \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 – 3 – 2 = -3 \) （鈍角，相加會變短）
- \( \vec{u} \cdot \vec{w} = 4 – 4 – 4 = -4 \) （鈍角，相加會變短）
- \( \vec{v} \cdot \vec{w} = 8 + 12 + 2 = 22 \) （銳角，相加會變長！）
直觀推論：
因為 \( \vec{u} \) 和其他兩個向量都是鈍角關係，
加上 \( \vec{u} \) 反而會把長度「拉回來」。只有 \( \vec{v} \) 和 \( \vec{w} \) 是「同心協力」向外延伸的。
我們來比較兩個候選人：
- 主對角線 \( \vec{P_{all}} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = (-7, -6, 1) \)距離平方：\( 49 + 36 + 1 = 86 \)
- 面上的對角線 \( \vec{P_{vw}} = \vec{v} + \vec{w} = (-6, -7, 3) \)距離平方：\( 36 + 49 + 9 = 94 \)
很明顯，\( 94 > 86 \)。
加上 \( \vec{u} \) 確實讓總長度縮水了。
因此，最長距離為：
\[ \sqrt{94} \]
總結與學習重點
這道題目從外積出發，最終回到了長度計算，完美的展示了向量分析的完整性。
- 章節觀念：空間向量、外積幾何意義、向量三重積、長度與角度判斷。
- 看見結構：面的外積的外積，會回到邊的方向（\( \vec{N_2} \times \vec{N_3} \parallel \vec{w} \)）。
- 數據檢驗：算出三邊後，別忘了快速心算長度確認是否符合題意。
- 破除迷思：最長距離不一定是主對角線，要看向量之間的夾角關係（內積正負）。
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題組20：求平行六面體體積及距點A的最長距離 | 115年學測數A
