2021 年 1 月 24 日

推導sin18度的「代數方法」與「幾何方法」

相信同學們已經很熟悉30度、45度、60度這些特別角的三角函數值,再稍微複雜一點就是15度與75度。
然而18度的三角函數值要等到同學們學到倍角公式,才能操作其代數推導。因此我錄了這個影片,除了幫大家複習代數推導之外,也提供較為簡單的幾何推導讓初學三角函數的同學也可以理解。

【高一數學】如何用巴斯卡公式推出平方級數和公式?

這一篇文章要分享的是,平方級數和公式的推導方式,這是108課綱高一下學期第1章的內容。
相信這個公式大家都不陌生,但要如何證明呢?課本大多是採用數學歸納法。也就是說,我們是先知道結果,然後再來證明這個結果是對的。然而,我們要如何從這個問題出發,去推導出想要的結果呢?方法有很多,今天我要來分享用巴斯卡定理來推導出平方級數和。

【書籍】斜槓青年 實踐版 讀後心得與教育觀點分享

Susan Kuang是將「斜槓青年」概念引入中國的第一人。她的第一本著作《斜槓青年》受到廣大迴響,雖然當中有好評也有負評,但作為開卷的讀者,我確實獲益良多,歡迎參考我在《斜槓青年》這本書的讀後心得。接下來,我們就一同來看看她的第二本著作《斜槓青年 實踐版》。
作為一名自媒體人,專欄作家,Susan Kuang展現出超凡的內控能力。這也就是為什麼她能作為一名斜槓人的主要原因。斜槓,意謂著對生活各種「領域」及「角色」的探索。因為要涉及更廣的層面,所以就必須具備更強大的管理能力。
因此,我認為可以將這本書視為管理「內在」與「外在」之書,而外在的顯現,其實也只是反應內在的狀態罷了,所以要如何進行有效的「內在管理」並將其實踐在生活當中,是這本書要傳達給讀者的核心目標。
「內在管理」即作者所強調的「內控力」。而優異的內控力才得以使我們重新取回人生的「自主性」和「自我趨動」的能力。不可諱言的,這也是考試引導教學的教育體制下,學生比較缺乏的部份。

【影片教學】高一數學:三次函數的圖形

今天我要來介紹高中數學第一冊:三次函數的圖形。
三次函數的次數雖然只比二次函數多一次,但其實複雜度比二次函數高了不少。因此這個部份也是大多數高一同學會感到困難的地方。在這篇文章,我們很自然地問了兩個問題,並且設法回答:問題1. 三次函數的圖形是否存在最高點或最低點?問題2. 三次函數的圖形是否具有對稱性?

【書籍】DEEPER LEARNING 深度學習的技術 / 楊大輝 讀後心得

學習主要是為了記住知識嗎?
在考試引導教學的教育制度裡,我們的學生是如何學習的?是不是很多時候,就只是將書本的內容背起來,然後考試時再將這些內容寫進考卷裡?然而,書中提到:強記考試是最淺的學習層次。因此,我們要去想想,學習的本質到底是什麼?顯然,絕對不只是一項搬運工程而已。

如何提升讀書效率?

前幾天,一個畢業的學生私訊我,說他目前正在準備重考大學,但讀書效果不彰,問我該如何才能提高讀書效率?
這是很多學生都會遇到的問題,包括我以前當學生時也是一樣。尤其數位世代的學生面臨的挑戰更大,因為現在幾乎人手一支手機,是分散注意力的主因。
這一篇文章我們就來談談,在目前這樣的世代,我們應該如何才能提升讀書效率呢?

免子算術與斐波那契數列(Fibonacci Sequence)

在課堂上,我們似乎很少去思考,為什麼要學習數列?有人說是為了將來學習極限的概念打基礎,也有人說是為了培養觀察規則的能力,以上的說法都沒有錯。而我自己的體會則是,觀察一串數字的規律,是人與生俱來的能力,而嘗試與發現的過程是一種自然的樂趣。然而,標準化的課程,似乎比較不容易讓學生感受到這種樂趣。
因此,這篇文章,我們要先擺脫考試的束縛,來談談一個被冠上數學家名字的有趣數列,斐波那契數列(義大利語:Successione di Fibonacci),簡稱費氏數列。

【讀書心得】雪球速讀法/宇都出雅巳

想要讀得快,就是要增加「讀書量」及「讀書經驗」,並累積大量資料庫,這才是學會速讀的關鍵。
然而坊間有很多學習速讀的書籍與課程,會將重點擺在加強速讀技巧。這不是不對,只是必須在累積豐富資料庫的前提下,才能收到較好的效果。
此時有讀者可能會想,我就是要精進速讀技巧,才能快速累積資料庫啊!
這樣想看似沒錯,但問題是,速讀技巧仍有其極限。根據作者到處學習速讀技巧的經驗,技巧只佔速讀能力的一小部份。最主要還是因為他看了許許多多的書。如果腦中的資料庫不足,不懂的內容並不會因為讀得快而變簡單。
反之,如果腦中已有該資訊,並不須要每個字都讀過才能理解句子的意思。

【觀念數學系列】如何提升數學理解的層次?

在課堂上,老師在講解過程中,時常會問學生,是否已經懂了?

但是,什麼叫做懂?

有些學生會有這樣的困擾:為什麼明明「我認為」我懂了,但每次一遇到沒看過的題目,就是不知道如何下手?

或者,遇到小範圍的考試還可以應付,但遇到大範圍的考試就慘不忍睹?

我認為,會造成這個現象,是因為每個人認知的「懂」其實是有程度上的差異。

一個學生說的懂可能是在較淺層的位置,以致於在考試時,無法應付較深一層的考題。

我們可以去檢視一下,學生所說的懂,是只可以應付「一道題」抑或是「一大類」題目?

還有就是,是否具備對於學習內容詮釋的能力?

這一篇文章,我們就是要來探討,如何避免淺層學習?並且讓理解數學的層次再更深一層。

輕鬆談如何教學二項式定理?

「組合與二項式定理」是108課綱第二冊的內容,這個定理我教了好多年,為了寫這篇文章,我重新research了一遍,再次體認到,當知道得愈多,愈能辨識到自己的無知。

對於古人的智慧,我只能用震撼兩個字形容,不得不說,數學真是一座大寶庫,蘊涵源源不絕的思想泉源。

在課堂上,我時常鼓勵學生,多問為什麼,在我能力所及,我一定設法回答學生提出的任何問題。

數學絕對是一門「說理」的學問,差別在於我們的能力能回答到什麼程度而已。

提出好的問題,其價值不亞於解決一道難題,甚至有過之而無不及。

例如我們聽過的一些猜想,像是「黎曼猜想」、「哥德巴赫猜想」,就是數學家提出來,但無法證明其是否正確且亦無法推翻的問題,流傳至今,砥礪著人們的智慧。

一旦完成證明,猜想就會變成「定理」。例如有名的「費瑪最後定理」,就是懸疑近三百年的猜想,最後由英國數學家威爾斯給出證明從而變成定理的例子。

人們對於偉大問題的重視,正如歷史對哥德巴赫猜想的形容可見一斑:

數學是科學之母,數論是數學的皇后,而哥德巴赫猜想是皇后皇冠上那一顆璀燦的明珠。

因此,這篇文章我們將以這樣的標準來介紹二項式定理,亦即,從問題出發來理解數學:這是誰發現的?為什麼會發現這個問題?這個定理有何用途?如何確定這個定理是對的?

教科書通常在同一個主題無法呈現出太多歷史脈絡,甚至非常單一地介紹一、兩位相關的數學家。

在這個系列文章,你會看到一個問題牽涉到的範圍比我們所知道的大得多。

但因為我是鎖定中學生看得懂的內容為主,目標是引起學生學習的興趣,太專業的部份僅留下連結供有興趣的讀者自行參考。

當然,不僅這篇文章,我在這個系列的每篇文章都會用這種方式來書寫。