最近在課堂上，有學生提出徐氏數學簡明講義第一冊的一個補充知識，
這是一個有趣的關係式，為什麼多項式函數的連續整數變數的函數值的關係，
與二項式定理的係數有著對應關係？

按照書中所寫的方法，不難驗證。
為了觀察其規律，以下算式用組合符號呈現，同時為了說明係數相加後的結果，
同學必須知道巴斯卡定理：

$$C^m_i + C^m_{i-1} = C^{m+1}_i$$

先試試，$degf(x)=2$ 的情況：不失一般性，令 $f(x)=x^2$，則

$$\begin{cases} C^2_0f(n+3)-C^2_1f(n+2)+C^2_2f(n+1)=2 \\ C^2_0f(n+2)-C^2_1f(n+1)+C^2_2f(n)=2 \end{cases}$$ 將兩式相減可得 $$C^3_0f(n+3)-C^3_1f(n+2)+C^3_2f(n+1)-C^3_3f(n)=0$$
如果 $degf(x)=3$，不失一般性，令 $f(x)=x^3$，則

$$\begin{aligned} & C^3_0f(n+4)-C^3_1f(n+3)+C^3_2f(n+2)-C^3_3f(n+1) \\ &= C^3_0(n+4)^3-C^3_1(n+3)^3+C^3_2(n+2)^3-C^3_3(n+1)^3\\ &= C^3_0(C^3_0-C^3_1+C^3_2-C^3_3) n^3+C^3_1n^2(C^3_0\cdot 4-C^3_1\cdot 3+C^3_2\cdot 2 -C^3_3\cdot 1) \\ &+ C^3_2\cdot (C^3_0\cdot 4^2-C^3_1\cdot 3^2+C^3_2\cdot 2^2-C^3_3\cdot 1^2) \\ &+ C^3_3\cdot (C^3_0\cdot 4^3-C^3_1\cdot 3^3+C^3_2\cdot 2^3-C^3_3\cdot 1^3) = 6 \end{aligned}\tag{1}$$

同理，

$$C^3_0f(n+3)-C^3_1f(n+2)+C^3_2f(n+1)-C^3_3f(n)=6 \tag{2}$$
將第(1)式減去第(2)式可得 $$C^4_0f(n+4)-C^4_1f(n+3)+C^4_2f(n+2)-C^4_3f(n+1)+C^4_4f(n)=0 \tag{3}$$

寫的過程中隱隱發現，似乎有什麼樣的規律，但是要怎麼說清楚呢？

答案就隱藏在差分的概念。

我們再重新考慮 $deg f(x)=1$ 的情況，那麼定義

$$\Delta f(k):=f(k+1)-f(k)$$ 此時 $deg \Delta f(k)=0$

也就是說，$\Delta f(k)$ 是一個常數，那麼

$$\Delta^2 f(k) = 0$$
將此式子整理一下：
$$\begin{aligned} 0 = \Delta^2 f(k) &=\Delta f(k+1) – \Delta f(k) \\ &= [f(k+2)-f(k+1)]-[f(k+1)-f(k)] \\ &= f(k+2) – 2f(k+1) + f(k) \end{aligned}$$ 原來二項式的係數是這樣出現的！為了方便觀察，接下來的式子皆以組合符號呈現。

若 $deg f(x)=2$，則 $deg(\Delta^2 f(x)) = 0$，

$$\begin{aligned} 常數 = \Delta^2 f(k) &= \Delta f(k+1) – \Delta f(k) \\ &= C^1_0 f(k+2) – C^1_1f(k+1) – C^1_0 f(k+1) + C^1_1 f(k) \\ &= C^2_0 f(k+2) – C^2_1 f(k+1) +C^2_2 f(k) \end{aligned}$$ 接著考慮三次差分
$$\begin{aligned} 0 = \Delta^3 f(k) &= \Delta^2 f(k+1) – \Delta^2 f(k) \\ &= [C^2_0 f(k+3)-C^2_1 f(k+2) +C^2_2 f(k+1)] – [C^2_0 f(k+2) – C^2_1 f(k+1) + C^2_2 f(k)] \\ &= C^3_0 f(k+3) – (C^2_0+C^2_1) f(k+2) + (C^2_1+C^2_2) f(k+1) -C^3_3 f(k) \\ &= C^3_0 f(k+3) – C^3_1 f(k+2) + C^3_2f(k+1)-C^3_3 f(k) \end{aligned}$$

你是否發現了，對於 $1$ 次多項式，其 $2$ 次差分為 $0$；對於 $2$ 次多項式，其 $3$ 次差分為 $0$；依此類推…。
對於 $m$ 次多項式，其 $m+1$ 次差分為 $0$，那麼要如何說明，$m+1$ 次差分的係數為 $(1-x)^{m+1}$ 的係數呢？

比較嚴謹的寫法是使用數學歸納法證明

$$\Delta^{m+1}f(k)=C^{m+1}_0 f(k+m+1)-C^{m+1}_1 f(k+m)+…+(-1)^{m+1}f(k)$$

若 $m=0$，則

$$\Delta f(k) = C^1_0 f(k+1) – C^1_1 f(k) \ \ \ \ 成立$$
假設差分次數不大於 $m$ 時皆成立，則
$$\begin{aligned} \Delta^{m+1}f(k) &= \Delta^m f(k+1) – \Delta^m f(k) \\ &= [C^m_0 f(k+1+m) – C^m_1 f(k+m) + C^m_2 f(k+m-1)-…+(-1)^m C^m_m f(k+1)] \\ &- [C^m_0 f(k+m) – C^m_1 f(k+m-1) + …+ (-1)^m C^m_m f(k)] \\ &= C^{m+1}_0 f(k+1+m) – (C^m_0 +C^m_1) f(k+m) + (C^m_1+C^m_2) f(k+m-1) + …\\ &+(-1)^{m}(C^m_{m-1}+C^m_m) f(k+1)+ (-1)^{m+1} C^{m+1}_{m+1} f(k) \\ &= C^{m+1}_0 f(k+1+m) – C^{m+1}_1 f(k+m) + C^{m+1}_2 f(k+m-1) -…\\ &+(-1)^m C^{m+1}_m +(-1)^{m+1}C^{m+1}_{m+1}f(k) \ \ \ 得證 \end{aligned}$$

這篇文章就先寫到這邊，給有興趣的同學參考。
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