為什麼有些數字 12 次方一定變成 1？

— 從費馬到歐拉的一段數學史

17 世紀的數學還在研究「整數」時
人們其實正在碰到一個非常奇怪的現象：

某些數字的次方
在除以一個數後
會莫名其妙變回 1

這件事最早被費馬注意到。

費馬在研究質數時發現：

只要 \(p\) 是質數
而 \(a\) 與 \(p\) 互質
那麼 \(a\) 的 \(p-1\) 次方
除以 \(p\) 一定餘 1

這就是後來的費馬小定理。

一百多年後
歐拉問了一個更深的問題：

如果模數不是質數呢？

他發現
不是質數也成立
只是次方必須改變

這個改變
就是今天數論最重要的函數之一：

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一、從餘數的循環開始

先觀察一個簡單例子：數字 \(2\) 在模 \(7\) 的世界

\[
2^1\equiv2\pmod7
\]
\[
2^2\equiv4\pmod7
\]
\[
2^3\equiv8\equiv1\pmod7
\]
\[
2^4\equiv2\pmod7
\]

餘數開始重複了。

模運算就像一個圓
數字不斷繞圈
最後一定回到起點。

回到 \(1\) 的那一步
代表走完一圈。

（高中觀念：餘式循環）

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二、費馬小定理：質數世界

若 \(p\) 為質數，且 \((a,p)=1\)，則

\[
a^{p-1}\equiv1\pmod p
\]

例如

\[
3^6\equiv1\pmod7
\]

意思是：

任何和 \(7\) 互質的數
繞 \(6\) 步一定回到 \(1\)

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三、歐拉定理：任意整數模數

歐拉把費馬推廣到所有整數。

定義
\(\phi(m)\)：小於等於 \(m\) 且與 \(m\) 互質的數量

例如

\[
\phi(12)=4
\]

因為與 \(12\) 互質的是

\[
1,5,7,11
\]

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歐拉定理

若 \((a,m)=1\)，則

\[
a^{\phi(m)}\equiv1\pmod m
\]

意義是：

互質的數字在模世界中形成有限循環
繞 \(\phi(m)\) 步一定回到原點

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四、關鍵觀察：最短循環長度

雖然歐拉定理保證

\[
a^{\phi(m)}\equiv1
\]

但其實常常會「更早」回到 \(1\)。

我們來看一個例子：模 \(8\)

因為

\[
\phi(8)=4
\]

依照歐拉定理應該有

\[
a^4\equiv1\pmod8
\]

但實際算算看奇數 \(3\)

\[
3^1\equiv3\pmod8
\]
\[
3^2=9\equiv1\pmod8
\]

只用了 \(2\) 次方
就回到 \(1\) 了。

也就是說
不是一定要走完 \(\phi(m)\) 步
有時候會更早回來。

再看另一個例子：模 \(9\)，一定要\(6\)次方才回來，無法提前循環。

\[
\phi(9)=6
\]

\[
2^3=8\not\equiv1
\]
\[
2^6\equiv1\pmod9
\]

這告訴我們一件事：

模數的世界裡
存在一個真正的「節奏長度」

歐拉定理給的是保證值
但實際的循環
往往更短。

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五、一道有趣的題目

若 \(n\) 與 \(72\) 互質，如何證明

\[
n^{12}\equiv1\pmod{72}
\]

並求最大整數 \(m\)
使所有與 \(m\) 互質的整數 \(n\) 皆滿足

\[
n^{12}\equiv1\pmod m
\]

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六、先證明模 72 成立

分解

\[
72=8\times9
\]

只需證明

\[
n^{12}\equiv1\pmod8
\]
\[
n^{12}\equiv1\pmod9
\]

即可推出模 \(72\)

（中國剩餘定理）

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模 8

與 \(8\) 互質代表 \(n\) 為奇數

奇數滿足

\[
n^2\equiv1\pmod8
\]

因此

\[
n^{12}=(n^2)^6\equiv1\pmod8
\]

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模 9

\[
\phi(9)=6
\]

所以

\[
n^6\equiv1\pmod9
\]
\[
n^{12}\equiv1
\]

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因此

\[
n^{12}\equiv1\pmod{72}
\]

（高中觀念：分解模數）

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七、求最大 m

問題等價於：

所有互質數的「循環長度」都整除 \(12\)

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1. 處理 \(2^a\)

▋為什麼要特別研究 \(2^a\)？

我們的目標是：

找一個最大的 \(m\)，使得只要 \((n,m)=1\)，就一定有

\[
n^{12}\equiv1\pmod m
\]

先把問題拆開想：

如果模數包含一個因子 \(2^a\)，
那麼滿足

\[
n^{12}\equiv1\pmod{2^a}
\]

都必須為奇數 \(n\)（因為與 \(2^a\) 互質）

所以問題變成：

在模 \(2^a\) 的世界裡
奇數的循環最長可以多長？

只要有一個數的循環長度超過 12
整個條件就會失敗。

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▋ 先用實驗觀察規律

我們先算幾個小的模數。

模 \(8=2^3\)

奇數：\(1,3,5,7\)

試 \(3\)：

\[
3^1\equiv3\pmod8
\]
\[
3^2=9\equiv1\pmod8
\]

最大循環長度 = 2

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▋模 \(16=2^4\)

試 \(3\)：

\[
3^2=9\pmod{16}
\]
\[
3^4=81\equiv1\pmod{16}
\]

最大循環長度 = 4

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▋模 \(32=2^5\)

試 \(3\)：

\[
3^2=9
\]
\[
3^4=81\equiv17
\]
\[
3^8=17^2=289\equiv1\pmod{32}
\]

最大循環長度 = 8

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觀察表

模數	最大循環長度
\(2^3=8\)	2
\(2^4=16\)	4
\(2^5=32\)	8

可以看出規律：

\[
2,4,8,\dots
\]

也就是

\[
2^{a-2}
\]

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為什麼這會限制 m？

題目要求：

所有互質數都滿足

\[
n^{12}\equiv1
\]

這代表：

「最大的循環長度」必須整除 12

否則一定有人繞一圈回不來。

因此要滿足

\[
2^{a-2}\mid12
\]

而

\[
12=2^2\times3
\]

可容納的 2 次方最多只有 \(2^2\)

所以

\[
a-2\le2
\]

\[
a\le4
\]

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最大的 2 的冪因子為

\[
2^4=16
\]

如果包含 \(32\)

就會出現某個奇數需要 8 步才回到 1
而 8 不整除 12
條件立刻失敗。

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2. 再來研究 \(3^a\)

和剛才討論 \(2^a\) 的想法完全一樣。

如果模數裡含有一個因子 \(3^a\)，
那麼所有與 \(3^a\) 互質的整數（也就是不是 3 的倍數）都必須滿足 \[n^{12}\equiv1 \pmod{3^a} \]

因此我們真正要找的是： 在模 \(3^a\) 的世界中，最快回到 \(1\) 的數，需要幾步？

只要這個「最快節奏」無法整除 \(12\) 整個條件就會失敗。

— 從小的模數開始觀察：先看幾個具體例子。

試試模 \(3\) 與 \(3\) 互質的數 \(1,2\)

\[ 2^1=2\not\equiv1 \] \[ 2^2=4\equiv1\pmod3 \]

最大循環長度 = 2

模 \(9=3^2\)：試 \(2\) \[ 2^2=4 \] \[ 2^3=8 \] \[ 2^6=64\equiv1\pmod9 \] 最大循環長度 = 6

模 \(27=3^3\)：試 \(2\) \[ 2^3=8 \] \[ 2^6=64\equiv10 \] \[ 2^9\equiv26 \] \[ 2^{18}\equiv1\pmod{27} \] 最大循環長度 = 18

找到規律

可以看出一個非常穩定的規律： \[ 2,6,18,\dots \] 也就是 \[ 2\times3^{a-1} \] 這代表 模 \(3^a\) 時一定存在某個數需要 \(2\times3^{a-1}\) 步才會回到 \(1\)

套回題目條件

題目要求
\[
n^{12}\equiv1\pmod{m}
\]對所有 \(m,n\) 滿足 \(gcd(m,n)=1\) 皆成立。

因此最大循環長度必須整除 \(12\) \[ 2\times3^{a-1}\mid12 \]

而 \[ 12=2^2\times3 \]

所以 \(3\) 的次方最多只能有一個 \[ a-1\le1 \] \[ a\le2 \]

因此最大的 3 的冪因子為 \[ 3^2=9 \]

如果模數包含 \(27\)， 就會出現某個數需要 \(18\) 步才回到 \(1\)，
而 \(18\) 不整除 \(12\)，條件立刻失敗。

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3. 其他質數

需滿足

\[
p-1\mid12
\]

得到

\[
p=5,7,13
\]

且只能一次方

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八、答案

\[
m=2^4\times3^2\times5\times7\times13
\]

\[
m=65520
\]

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結語

模運算是一個有限世界
每個數字都在繞圈

歐拉定理告訴我們
一定會回到起點

而這題在問的其實是：

最短的循環長度是多少？

當你開始用「循環」理解同餘
數論就不再只是算術，而是理解結構。

數學的困難通常發生在規律還沒被看見的時候
一旦看見
題目往往突然變得很單純。

所以不要急著求快
也不要急著背結論
讓自己多觀察幾次、多想一點點

你正在經歷的困惑
其實和大多數的人一樣，
而有些人選擇多停留了一會兒
直到規律浮現為止。

學會等待理解
與學會解題同樣重要。

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