前言

最近在課堂上講到質數的定義，一如既往，我不太喜歡直接告訴學生答案，而是用提問引導出想法。
我問七年級的學生們，你們國小時，有學過質數對吧，那麼誰可以用一句話敘述清楚，什麼是質數呢？

有些學生會一直想用例子說明，而程度較好的學生會說，

一個正整數，除了1和自身之外，沒有其他因數，那麼這個數就稱為質數。

此時我會請他們再想想，當初的數學課本是這樣寫的嗎？還有沒有什麼條件呢？
結果在四個班級，170位學生中，沒有人說得出來。

接著我再次提問，$1$ 是不是質數呢？

這時學生們會說不是。因此，我們的定義應該是

任何「大於1」的正整數，除了1與自身之外，沒有其他的因數，那麼此數就稱作質數。

另外，順便提一下，什麼是「合數」呢？此時我就會直接說出答案：

任何「大於1」的正整數，不是質數，便是合數。

學生提問：那「1」算什麼數？還有，為什麼它不能當作質數呢？

首先，$1$ 這個數很特別，它是最小的自然數，也是所有整數的因數。

如果它作為質數，那麼我們做質因數分解會如何呢？

例如： $$5=1\times 5=1\times 1\times 5$$ $$12=2\times 2\times 3 = 1\times 2\times2\times 3 = 1\times 1\times 2\times 2\times 3$$

此時我們發現，同一個整數的質因數分解方式有無限多種。換句話說，質因數分解沒有「唯一性」。

如果我們將 $1$ 這個數自質數中排除，那麼任何整數，必定可以被「唯一」分解成若干質因數的乘積，這就是不將
$1$ 視為質數的好處 。也就是我們稱之的「算術基本定理」。此定理正式的敘述如下：

1. 存在性：任何大於 $1$ 的自然數都可以分解成若干個質數的乘積

2. 唯一性：設 $n$ 為一個大於1的自然數，若其標準分解式為
$$\begin{aligned} n &= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_l^{\alpha_l} \\ n &= q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}…q_m^{\beta_m} \end{aligned}$$ 其中 $$p_1\leq p_2\leq…\leq p_l, \ q_1\leq q_2 \leq …\leq q_m$$
則 $$l=m, \alpha_k=\beta_k, \forall 1\leq k\leq l$$

運用「算術基本定理」證明根號2為無理數

有了以上的基本認識後，我們可以延伸至高中數學，運用「算術基本定理」證明 $\sqrt{2}$ 是無理數。
因為這篇文章希望可以作為七年級學生延伸閱讀的材料，因此簡單介紹一下什麼是「無理數」。

我們有學過數線，數線上有很多的點，大致可以分成兩大類，一種稱為「有理數點」，另一種稱為「無理數點」。

所謂的有理數，就是可以表成分數形式的數。換句話說，我們要證明 $\sqrt{2}$ 不能表示為分數。證明方式為歸謬法，
在這裡提供兩個證明方式，第一種是高中數學課本的寫法，第二種則是使用算術基本定理。

方法一：教科書的證明方式

假設 $\sqrt{2}$ 是有理數，則存在整數 $m$、$n$ 使得 $$\sqrt{2}=\frac{n}{m}$$ 其中 $m\neq 0$，並且 $$(m,n)=1$$

接著將兩邊平方且移項可得 $$2m^2=n^2$$

觀察上式可知，$n$必定是偶數，設 $n=2k$代回上式可得 $$2m^2=4k^2$$ 因此 $m$ 也是偶數，由以上論證可知 $$(m,n)\geq 2$$
與 $m$、$n$互質相矛盾。也就是說，原假設不成立，即 $\sqrt{2}$ 是無理數。

方法二：使用算術基本定理

假設 $\sqrt{2}$ 是有理數，於是可令 $\sqrt{2}=\frac{n}{m}$，其中$m$、$n$為兩個正整數，但是不用假設其互質。
將上式平方得 $$2m^2=n^2$$

由算術基本定理知，$m$ 與 $n$ 可寫成標準分解式如下：
$$\begin{aligned} m &= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k}, p_1\leq p_2 \leq p_3 \leq … \leq p_k \\ n &= q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}…q_l^{\beta_l}, q_1\leq q_2 \leq q_3 \leq … \leq q_l \end{aligned}$$ 代入上式可得 $$2 p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k}=q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}…q_l^{\beta_l}$$

觀察上式可知，等式左邊 $2$ 的因數有奇數個，右邊 $2$ 的因數有偶數個，造成矛盾。因此原假設不真，即 $\sqrt{2}$ 為無理數。

哥德巴赫猜想：數學家曾經將1視為質數

數學家哥德巴赫(Goldbach, 西元1690~1764) 觀察到：
$$2=1+1, 4=1+3, 6=1+5=3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5, 12=5+7, \\ 14 = 3+11 = 7+1, 16 = 3+13 = 5+11 …$$

於是他在西元1742年寫信給大數學家歐拉(Euler, 西元1707~1783年)，大膽猜測：

「任何偶數都可以表成兩個奇質數之和」。

這就是著名的哥德巴赫猜想，至今尚未被證明出來。

當時哥德巴赫將 $1$ 視為質數，因此在敘述上顯得特別簡潔。

如果不將 $1$ 視為質數，敘述就要改寫成

任何大於4的偶數都可以表成兩個奇質數之和

同學們不妨多嘗試幾個數字觀察，例如： $$40 = 3 +37, 58 = 5 + 53, 70 = 3 + 67, 100 = 3 + 97, 598 = 5 + 593, …$$

如果將「奇」字棄掉，則哥德巴赫猜想的敘述就是

任何大於2的偶數都可以表成兩個(不必相異)的質數之和

課堂上有學生提出，為什麼一定要偶數呢，奇數不行嗎？

我們隨便舉一個奇數就不能表示成兩個質數的和了，例如： $$11=2+9=4+7+6+5$$ 也就是說，因為 $2$是唯一的偶質數，如果「$2$＋某數」不能的話，那麼之後的分解就都不可能了。

目前哥德巴赫猜想最好的成果是中國數學家陳景潤做出的「1＋2」，敘述如下：

任何一個大偶數都可以分解成一個質數及不超過兩個質數乘積之和

這個結果又稱為「陳氏定理」。

也就是說，原始的哥德巴赫猜想又稱為「1＋1」問題。學生總喜歡問如何證明「1＋1＝2」？
以後換個問法：如何證明「1＋1」問題會更有意思且有內涵得多。

結論

要不要視 $1$ 為質數各有其優缺點，我們來歸納一下：
如果 $1$ 是質數，自然數的分類就只有兩類：「質數」類與「合數」類，然後在敘述上也會顯得特別簡潔(例如哥德巴赫猜想的敘述)
但缺點就是，任何自然數皆可分解成兩個質因數之乘積，其分解方式不唯一。

如果 $1$ 不是質數，那麼自然數分成三類：1，質數類、合數類。就是我們現在教科書上看到的樣貌。
優點就是在敘述算術基本定理時具備唯一性：

任何大於1之自然數，其質因數分解，存在且唯一。

因此決定 $1$ 是否應該視為質數，是評估優缺點後選擇的結果。
因為「算術基本定理的唯一性」很重要，因此才做此選擇。
如果規定「$1$ 是質數」也行，但也要承擔後續產生的問題，讓我們論證上比較不方便。

這篇文章先寫到這邊，作為課程內容的補充，篇幅不宜過長，希望學生能有耐心看完。

筆者簡介

從歷史觀點重塑數學課，讓數學變得更有趣。