最近高中課程即將進行到第2冊。

我們來談談第一節：數列

你覺得這個單元的精神是什麼？

我認為是培養「觀察」、「猜測」與「驗證」的能力。

首先我們來看一道，從國小到高中以及一些邏輯測驗常見的問題：

請觀察以下數列的規則，判斷第$6$項的數字$\bigtriangleup$是多少？

$$1, 2, 4, 8, 16, \bigtriangleup$$ 大多數人的第一反應就是 $32$，因為從這個數列的前幾項，看起來很像公比為 $2$ 的等比數列。

實則不然

如果這個數列沒有指定一般項，那麼第 $6$ 項可以是任何數字。

為什麼？

例如：

$$a_n = 2^{n-1}+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\cdot \frac{K- 32}{120}$$ 那麼我們可以得出第 $6$ 項 $a_6=K$，其中 $K$ 可以是任何數。

換句話說，每個人可能因為主觀看到的規則不同，
而得出不一樣的答案，這是個不嚴謹的問題。

所以下次當你遇到這類題目，困擾為什麼自己的答案總是與解答不同時，
不用擔心，這不是你的問題，而是題目本身就有瑕疵。
最嚴謹的答案其實是「任意數」。

那麼，什麼樣的問題才是一個好的問題呢？

在翰林版課本裡，提到一道有趣的題目：

考慮一圓，圓周上有 n 個相異的點，任何兩點皆以線段連接。
假設沒有三點共線的情形，則這些線段可以將圓分割成幾個區域？

不妨試著畫看看：

設 $a_n$ 為 $n$ 個點時，連接線段將圓分割的區域數，目前看來此數列的前四項為 1, 2, 4, 8
似乎是首項為 $1$，公比為 $2$ 的等比數列，猜測 $a_n=2^n$

為了謹慎起見，再多畫幾個看看：

在第 $6$ 項的時候出現不合群的一項，竟然只有 $31$ 個區域，所以我們猜錯了。

附帶一提，在畫圖的時候，可能會三點共線，
此時分割出來的區域數會比較少。
因此原命題才會假設「沒有三點共線的情形」，
這樣才能確保分割出來的區域數是最多的。

這個問題也提醒我們，不能單從觀測前幾項就斷定這個數列的一般項，
必須真的看出規則才行。

課本在此就打住了，沒有繼續寫下去，我們接著繼續探討，
這個問題應該怎麼處理，提供給有興趣的同學參考。

首先，觀察一下，當圓周上每增加一點時，區域數會有什麼樣的變化？
以目前六項來看：

$$a_1=1, a_2=2, a_3=4, a_4=8, a_5=16, a_6=31$$ 則
$$\begin{aligned} \Delta a_1 &=a_2-a_1 =1 \\ \Delta a_2 &=a_3-a_2 =1+1 \\ \Delta a_3 &=a_4-a_3 =1+2+1 \\ \Delta a_4 &=a_5-a_4 =1+3+3+1 \\ \Delta a_5 &=a_6-a_5 =1+4+5+4+1 \\ \end{aligned}$$ 有點像巴斯卡三角形，而且每一斜列似乎是有規律的：

每個斜列都是一個等差數列，我將其一般項寫出來看一下：

第 $k$ 列的第 $j$ 項要如何表示呢？

依據規則可知，

$$(j-1)k-[j(j-1)-1]$$ 化簡可得 $$(j-1)(k-j)+1, j=1,2,3,…,k$$ 也就是說，當圓周上有 $k$ 個點，再多增加一個點時，會增加區域數 $$\Delta a_k = \sum_{j=1}^k[(j-1)(k-j)+1]$$ 接著將其累加可得：

因此

$$\begin{aligned} a_n &= a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\Delta a_k \\ &=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{j=1}^n[(j-1)(k-j)+1]\\ &=1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k^3-3k^2+8k}{6}\\ &=1+\frac{1}{24}n(n-1)(n^2-5n+18) \end{aligned}$$  

以上的計算不難，但須要一些耐心，可單獨作為一道習題了。

有了以上式子，不妨代幾項看看是否正確：

$$a_1=1, a_2=2, a_3=4, a_4=8, a_5=16, a_6=31$$ 太棒了，前六項都沒錯。

問題來了，那麼要怎麼確認每一項都是對的呢，總不可能一直畫圖確認吧？

此時就要用到「數學歸納法」

首先，$n=1$ 時顯然成立。

假設前 $n$ 項時皆成立，即

$$a_n=\frac{1}{24}n(n-1)(n^2-5n+18)+1$$ 那麼增加至第 $n+1$ 個點時，區域數會增加多少呢？

首先，我們先要有一個觀念：當圓內各點每多連一條線，就會多增加一個區域；兩直線每增加 $1$個交點，會再多一個區域。

也就是說，決定區域數，其實就是在決定可連成幾條直線，以及有多少個交點。

如果你不知道為什麼，不妨畫幾個圖觀察就會知道了。

如下圖，我們考慮在圓上原本 $n$ 個點中，再增加第 $n+1$ 個點 $P_{n+1}$ 時，會多出幾個區域。

首先，將 $P_{n+1}$ 與 $P_j$ 相連，其中 $j=1,2,3,…,n$

那麼線段 $\overline{P_{n+1}P_j}$ 會將圓隔成兩部份，分別為上半部：$P_1, P_2, P_3, …,P_{j-1}$ 與 下半部：$P_{j+1}, P_{j+2}, …, P_{n}$

將上半部的 $j-1$ 個點與下半部的 $n-j$ 個點相連，與線段 $\overline{P_{n+1}P_j}$ 會有 $(j-1)(n-j)$ 個交點。
如下圖所示(示意圖)：

也就是說，總區域數增加

$$(j-1)(n-j)+1$$ 再將其加總 $j=1,2,3,…,n$ 可得 $$\sum_{j=1}^n [(j-1)(n-j)+1]=\frac{1}{6}(n^3-3n^2+8n)$$

因此

$$\begin{aligned} a_{n+1} &= a_n+\frac{1}{6}(n^3-3n^2+8n) \\ &= \frac{1}{24}n(n-1)(n^2-5n+18)+1+\frac{1}{6}(n^3-3n^2+8n) \\ &= \frac{1}{24}n\cdot[(n-1)(n^2-5n+18)+4(n^2-3n+8)]+1\\ &= \frac{1}{24}n\cdot[n^3-2n^2+11n+14]+1\\ &= \frac{1}{24}n(n+1)(n^2-3n+14)+1\\ &= \frac{1}{24}n(n+1)[(n+1)^2-5(n+1)+18]+1 \end{aligned}$$

great!

因此由數學歸納法得知，

$$a_n=\frac{1}{24}n(n-1)(n^2-5n+18)+1, \forall \ n \in N$$

以上就是我們在學習數學時時常經歷的過程：問題 -> 發現 -> 猜測 -> 證明
教科書篇幅有限，無法對此有太多的闡述，同學們還是要多找一些科普書籍閱讀，
才有助於提升思考的廣度與深度。

最後，提供這一題比較快捷的解法：

因為任何兩點決定一直線，故 $n$ 個點可決定 $C^n_2$ 條直線，如果它們在圓內彼此不相交，
則可以將圓分割成 $1+C^n_2$ 個區域。另外，任何四個點可圍成一個四邊形，其對角線會決定一個交點，
而每多一個交點就會多一個區域，因此

$$a_n=1+C^n_2+C^n_4=1+\frac{n(n-1)}{24}(n^2-5n+18)$$

這篇文章就先寫到這邊，希望能帶給你一些啟發。
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