2021 年 4 月 23 日

【教學】高一數學補充:算幾不等式的證明

同學們在高一上學期時,已經學過兩項的算幾不等式,再進階一點則為三項的算幾不等式。我們發現,兩項的情況無論是用「代數」或是「幾何」證明都相當容易。然而,多了一項後,難度便高出了不少。

無論是兩項或三項,都只是算幾不等式的特例。那麼要如何確定,n項也會是對的呢?這個部份要等到同學學到第二冊的數學歸納法,才能夠進行嚴謹的論證。以下將演示數個證明方法,有些較為直覺,有些則頗為神奇不容易想到,其巧思實在令人嘆為觀止。

如何規劃數甲指考複習?99課綱末代考生的背水一戰

110年學測已落幕,數學試題偏難,許多學生考完後大概就知道成績不甚理想,果斷決定投入指考準備。今年是舊課綱的最後一屆,更提升了明年重考的難度,大家勢必因此又多了一些心理壓力。
為了協助同學能在有限的時間做有效的複習,我特別以過去二十年的教學經驗與大考中心頒佈的指考數學科考試說明(99課綱)為基礎撰寫此文,提供家長與同學們參考。

110年學測數學試題分析與詳解

這是一份有鑑別度的考題,在有時間壓力下,要拿高分著實不易。因為去年題目太過簡單,今年可以預期題目難度勢必提高,但我認為倒不致於如報導所說史上最難,這篇文章就帶大家來看看今年的考題吧!

推導sin18度的「代數方法」與「幾何方法」

相信同學們已經很熟悉30度、45度、60度這些特別角的三角函數值,再稍微複雜一點就是15度與75度。
然而18度的三角函數值要等到同學們學到倍角公式,才能操作其代數推導。因此我錄了這個影片,除了幫大家複習代數推導之外,也提供較為簡單的幾何推導讓初學三角函數的同學也可以理解。

【高一數學】如何用巴斯卡公式推出平方級數和公式?

這一篇文章要分享的是,平方級數和公式的推導方式,這是108課綱高一下學期第1章的內容。
相信這個公式大家都不陌生,但要如何證明呢?課本大多是採用數學歸納法。也就是說,我們是先知道結果,然後再來證明這個結果是對的。然而,我們要如何從這個問題出發,去推導出想要的結果呢?方法有很多,今天我要來分享用巴斯卡定理來推導出平方級數和。

【影片教學】高一數學:三次函數的圖形

今天我要來介紹高中數學第一冊:三次函數的圖形。
三次函數的次數雖然只比二次函數多一次,但其實複雜度比二次函數高了不少。因此這個部份也是大多數高一同學會感到困難的地方。在這篇文章,我們很自然地問了兩個問題,並且設法回答:問題1. 三次函數的圖形是否存在最高點或最低點?問題2. 三次函數的圖形是否具有對稱性?

免子算術與斐波那契數列(Fibonacci Sequence)

在課堂上,我們似乎很少去思考,為什麼要學習數列?有人說是為了將來學習極限的概念打基礎,也有人說是為了培養觀察規則的能力,以上的說法都沒有錯。而我自己的體會則是,觀察一串數字的規律,是人與生俱來的能力,而嘗試與發現的過程是一種自然的樂趣。然而,標準化的課程,似乎比較不容易讓學生感受到這種樂趣。
因此,這篇文章,我們要先擺脫考試的束縛,來談談一個被冠上數學家名字的有趣數列,斐波那契數列(義大利語:Successione di Fibonacci),簡稱費氏數列。

【觀念數學系列】如何提升數學理解的層次?

在課堂上,老師在講解過程中,時常會問學生,是否已經懂了?

但是,什麼叫做懂?

有些學生會有這樣的困擾:為什麼明明「我認為」我懂了,但每次一遇到沒看過的題目,就是不知道如何下手?

或者,遇到小範圍的考試還可以應付,但遇到大範圍的考試就慘不忍睹?

我認為,會造成這個現象,是因為每個人認知的「懂」其實是有程度上的差異。

一個學生說的懂可能是在較淺層的位置,以致於在考試時,無法應付較深一層的考題。

我們可以去檢視一下,學生所說的懂,是只可以應付「一道題」抑或是「一大類」題目?

還有就是,是否具備對於學習內容詮釋的能力?

這一篇文章,我們就是要來探討,如何避免淺層學習?並且讓理解數學的層次再更深一層。

輕鬆談如何教學二項式定理?

「組合與二項式定理」是108課綱第二冊的內容,這個定理我教了好多年,為了寫這篇文章,我重新research了一遍,再次體認到,當知道得愈多,愈能辨識到自己的無知。

對於古人的智慧,我只能用震撼兩個字形容,不得不說,數學真是一座大寶庫,蘊涵源源不絕的思想泉源。

在課堂上,我時常鼓勵學生,多問為什麼,在我能力所及,我一定設法回答學生提出的任何問題。

數學絕對是一門「說理」的學問,差別在於我們的能力能回答到什麼程度而已。

提出好的問題,其價值不亞於解決一道難題,甚至有過之而無不及。

例如我們聽過的一些猜想,像是「黎曼猜想」、「哥德巴赫猜想」,就是數學家提出來,但無法證明其是否正確且亦無法推翻的問題,流傳至今,砥礪著人們的智慧。

一旦完成證明,猜想就會變成「定理」。例如有名的「費瑪最後定理」,就是懸疑近三百年的猜想,最後由英國數學家威爾斯給出證明從而變成定理的例子。

人們對於偉大問題的重視,正如歷史對哥德巴赫猜想的形容可見一斑:

數學是科學之母,數論是數學的皇后,而哥德巴赫猜想是皇后皇冠上那一顆璀燦的明珠。

因此,這篇文章我們將以這樣的標準來介紹二項式定理,亦即,從問題出發來理解數學:這是誰發現的?為什麼會發現這個問題?這個定理有何用途?如何確定這個定理是對的?

教科書通常在同一個主題無法呈現出太多歷史脈絡,甚至非常單一地介紹一、兩位相關的數學家。

在這個系列文章,你會看到一個問題牽涉到的範圍比我們所知道的大得多。

但因為我是鎖定中學生看得懂的內容為主,目標是引起學生學習的興趣,太專業的部份僅留下連結供有興趣的讀者自行參考。

當然,不僅這篇文章,我在這個系列的每篇文章都會用這種方式來書寫。

高中數學家教攻略:家長與新手教師的入門指南

我我是一名數學老師,目前在台北市一所著名的私立中學任教。

在這之前,我曾經做過將近二十年的數學家教,授課範圍涵蓋國中、高中、以及大學微積分、線性代數課程,指導過上百位家教學生。

當我還是一名大學生時,因緣際會之下,曾獲邀至升大學補習班擔任數學輔導老師,協助高中生解答數學問題。

也因此,在我大二那一年,於補習班接了第一個家教學生,從此展開了我將近二十年的家教人生。

如今,這樣的回憶,深深烙印在我腦海,與每個學生相處的點滴,成為我心中寶貴的資產。因為家教工作對於我有著如此深刻的體會,特撰此文分享。

這篇文章一方面協助正在尋找家教老師的學生與家長,了解找家教的管道、方法,學費行情,並且建立正確的觀念,進而找到適合自己的老師。另一方面,對於有志於從事家教工作的新手老師,藉由此文得以初步了解家教工作的相關細節,減少自我摸索的時間,讓教學工作能順利進行。

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