你相信三角形中隱藏著一條神祕的「生產線」嗎？

只要給定任一個三角形，無論它是銳角、鈍角還是細長的形狀，它內部的三邊中點、高線垂足，
甚至是頂點到垂心的中點，這九個看似各奔東西的點，竟然會像著了魔似的，
乖乖地排在同一個完美的圓周上。這就是幾何學中著名的「九點圓」。

在今天的專欄中，我們不只要用最直觀的座標幾何拆解這道經典的考題（連向量都不用！），
更要帶你深入其本質：

• 從代數出發：看如何利用「中點」與「垂直」的斜率關係，在座標平面上一口氣還原頂點。
• 從幾何深挖：我們將詳細證明，為什麼那九個點會「共圓」？這絕對不是巧合，而是對稱性在空間中的終極展現。

如果你曾覺得幾何證明很枯燥，這篇文章將徹底翻轉你的看法。
讓我們一起看見，數學是如何在混亂中建立秩序的。

它不僅連結了三角形的重要點位，更展現了歐拉（Euler）與費爾巴哈（Feuerbach）
等數學巨擘對空間對稱性的深刻洞察。

1765 年，大數學家歐拉（Leonhard Euler）發現了三角形的中點與垂足共圓；
而後在 1822 年，費爾巴哈（Karl Feuerbach）進一步證明了這個圓與三角形的內切圓、
旁切圓相切（即著名的費爾巴哈定理）。

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幾何結構的優雅解構：九點圓的座標與性質解析

在平面幾何中，九點圓（Euler’s Circle）是一座充滿對稱美的橋樑。
它不僅將三角形的垂心、外心與各邊中點緊密聯繫在一起，更展現了代數與幾何交織的魅力。
今天我們就以這道經典考題為例，示範如何透過「中點對稱」與「垂直關係」這兩個核心概念，
優雅地拆解複雜的幾何圖形。

【題目敘述】

在平面中，對任意三角形，其三邊的中點、三高的垂足、三頂點到垂心的三條線段中點，必然共圓。
此圓稱為九點圓，或稱歐拉圓、費爾巴哈圓。

如下圖所示，在 \( \triangle{ABC} \) 中：

• 若 \( M_1, M_2, M_3 \) 分別為三邊中點；
• \( \overline{AH_1}, \overline{BH_2}, \overline{CH_3} \) 為三邊的高，且 \( H_1, H_2, H_3 \) 分別為其垂足；
• 三邊的高之交點為垂心 \( H \)；
• \( D, E, F \) 分別為 \( \overline{AH}, \overline{BH}, \overline{CH} \) 的中點。

則 \( M_1, M_2, M_3, H_1, H_2, H_3, D, E, F \) 九點會在同一圓上，即為九點圓。
已知其性質為：九點圓的半徑是外接圓的一半；圓心為垂心 \( H \) 到外心 \( O \) 的線段中點。

已知垂心 \( H(5, 5) \)，且九點圓上的兩點為 \( E(\frac{13}{2}, \frac{9}{2}) \)，\( F(4, 7) \)，試求：

1. 頂點 \( A \) 的座標為何？
2. 此九點圓的圓方程式為何？

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【解題核心：看見結構】

解題章節：直線與圓、座標幾何 解這類題目的直觀錨點在於：「中點即是對稱」。
當我們擁有垂心與連線中點時，頂點座標便呼之欲出。

1. 求解頂點 \( A \) 的座標

首先利用中點公式，由垂心 \( H \) 與已知中點 \( E, F \) 求出頂點 \( B \) 與 \( C \)：

• \( B = 2E – H = (13, 9) – (5, 5) = (8, 4) \)
• \( C = 2F – H = (8, 14) – (5, 5) = (3, 9) \)

接著利用「垂心與對邊垂直」的幾何特性求頂點 \( A \)：

• 求直線 \( \overleftrightarrow{AB} \)：此直線垂直於 \( \overline{CH} \)。
  • \( m_{\overline{CH}} = \frac{5-9}{5-3} = -2 \) \( \Longrightarrow m_{\overleftrightarrow{AB}} = \frac{1}{2} \)
  • 通過 \( B(8, 4) \)，方程式為：\( x – 2y = 0 \)
• 求直線 \( \overleftrightarrow{AC} \)：此直線垂直於 \( \overline{BH} \)。
  • \( m_{\overline{BH}} = \frac{4-5}{8-5} = -\frac{1}{3} \) \( \Longrightarrow m_{\overleftrightarrow{AC}} = 3 \)
  • 通過 \( C(3, 9) \)，方程式為：\( 3x – y = 0 \)

聯立兩直線方程式：

\[ \begin{cases} x – 2y = 0 \\ 3x – y = 0 \end{cases} \]

解得頂點 \( A(0, 0) \)。

2. 求解九點圓方程式

有了頂點 \( A, B, C \)，我們可以進一步求出三角形的外心 \( O \) 與九點圓心 \( K \)。

1. 尋找外心 \( O \)：
   • 弦 \( \overline{AB} \) 的中點為 \( M_3(4, 2) \)，其垂直平分線為 \( 2x + y = 10 \)。
   • 弦 \( \overline{BC} \) 的中點為 \( M_1(\frac{11}{2}, \frac{13}{2}) \)，其垂直平分線為 \( x – y = -1 \)。
   • 聯立解得外心 \( O(3, 4) \)。
2. 決定九點圓心 \( K \)：
   • 根據性質，\( K \) 為 \( \overline{HO} \) 的中點。
   • \( K = \frac{H + O}{2} = (\frac{5+3}{2}, \frac{5+4}{2}) = (4, \frac{9}{2}) \)。
3. 計算半徑平方 \( r^2 \)：
   • 利用圓心 \( K \) 與圓上點 \( M_1 \) 的距離：
   • \( r^2 = \overline{KM_1}^2 = (4 – \frac{11}{2})^2 + (\frac{9}{2} – \frac{13}{2})^2 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{25}{4} \)。

九點圓方程式：\( (x – 4)^2 + (y – \frac{9}{2})^2 = \frac{25}{4} \)。

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為什麼這九點必然共圓？

九點圓的本質，其實是外接圓的縮影。我們可以從以下兩個層次來理解這個幾何奇蹟：

1. 位似變換的觀點：外接圓的「對折」

九點圓最優雅的證明方式是透過位似（Homothety）。

在幾何學中，位似（Homothety / Dilatation） 是一種非常迷人的變換。

簡單來說，它就是將一個圖形以某個固定點為中心，進行「等比例放大或縮小」的過程。

這就像是你在黑夜中用手電筒照著牆面上的剪影，當手電筒（位似中心）不動，
改變物體與光源的距離時，牆上的影子就會縮放，但形狀永遠保持相似。

位似的三大要素

要定義一個位似變換，我們必須確定以下三個核心資訊：

1. 位似中心 (Center of Homothety)： 這是圖形縮放的「錨點」，在變換過程中，這個點的位置保持不變。
2. 位似比 (Ratio) \( k \)： 這是縮放的倍率。
   • 若 \( |k| > 1 \)：圖形放大。
   • 若 \( |k| < 1 \)：圖形縮小。
   • 若 \( k < 0 \)：圖形會翻轉到中心點的另一側。
3. 對應點共線： 原圖形上的每一點 \( P \) 與變換後的對應點 \( P’ \)，必然與位似中心 \( O \) 位在同一條直線上。

為什麼「九點圓」與位似有關？

回到九點圓問題，這就是位似幾何最完美的應用場景：

外接圓的「半價」分身

九點圓其實可以看作是三角形外接圓經過位似變換後的產物：

• 位似中心：垂心 \( H \)。
• 縮放倍率：\( \frac{1}{2} \)。

當我們以垂心 \( H \) 為中心，將整個三角形向內縮小一半時，頂點 \( A, B, C \) 會剛好落在 \( D, E, F \)（即頂點到垂心連線的中點）。
這意味著，原本通過 \( A, B, C \) 的外接圓，在經過縮放後，會變成一個通過 \( D, E, F \) 且半徑縮小為一半的新圓。
這就是為什麼九點圓的半徑剛好是外接圓一半的原因。

2. 矩形與直徑的對稱美

為什麼三邊中點\( M_1, M_2, M_3 \)也會剛好落在這個圓上？
我們可以觀察由中點與垂心連線中點所構成的形狀。

我們以 \( \overline{M_1 D} \) 為例，證明其為直徑，並說明為何其他點（如 \( M_1, M_2, E, D \)）必然落在以此為直徑的圓上。

1. 建立平行與垂直的關聯

首先，我們利用中點連線定理觀察 \(\triangle{ABC}\) 內部的位移關係：

• 邊中點關係：在 \(\triangle{ABC}\) 中，\( M_1, M_3 \) 分別為 \( \overline{BC}, \overline{AB} \) 的中點，
  故 \( \overline{M_1 M_3} \parallel \overline{AC} \)。
• 垂心中點關係：在 \(\triangle{ABH}\) 中，\( D, M_3 \) 分別為 \( \overline{AH}, \overline{AB} \) 的中點，
  故 \( \overline{D M_3} \parallel \overline{BH} \)。

2. 證明矩形結構 \( D E M_1 M_2 \)

第一步：證明一組對邊平行

考慮三角形 \( \triangle ABH \)。

點 \( D \) 為 \( \overline{AH} \) 的中點，點 \( E \) 為 \( \overline{BH} \) 的中點。

依中點連線定理可得： \[ DE \parallel AB \]

再考慮三角形 \( \triangle ABC \)：

點 \( M_1 \) 為 \( \overline{BC} \) 的中點，點 \( M_2 \) 為 \( \overline{AC} \) 的中點。
依中點連線定理可得： \[ M_1M_2 \parallel AB \] 由於 \( DE \) 與 \( M_1M_2 \) 皆平行於 \( AB \)，因此：\[ DE \parallel M_1M_2 \]

第二步：證明另一組對邊也平行

考慮三角形 \( \triangle AHC \)。
點 \( D \) 為 \( AH \) 的中點，點 \( M_2 \) 為 \( \overline{AC} \) 的中點。

依中點連線定理可得：

\[ DM_2 \parallel HC \] 再考慮三角形 \( \triangle BHC \)。 點 \(E \) 為 \( \overline{BH} \) 的中點，點 \( M_1 \) 為 \( \overline{BC} \) 的中點。
依中點連線定理可得： \[ EM_1 \parallel HC \] 因此： \[ DM_2 \parallel EM_1 \]

平行四邊形判定
由上述兩步可得：

\[ DE \parallel M_1M_2 \] 且 \[ DM_2 \parallel EM_1 \] \[ \Longrightarrow DE M_1M_2 \text{ 為平行四邊形} \]

第三步：補上直角，判定為矩形

由於 \( CH_3 \) 為 \( \overline{AB} \) 的高，且\(C, H, H_3\) 三點共線，因此：\[ HC \perp AB \]

又由前述結論： \[ DE \parallel AB \] 且 \[ DM_2 \parallel HC \]

因此可得： \[ DE \perp DM_2 \] 平行四邊形中若存在一個直角，
則該四邊形為矩形，故： \[ DE M_1M_2 \text{ 為矩形} \]

3. 圓周角定理的必然性

當我們確定 \( \overline{M_1 D} \) 是直徑後：

• 根據圓周角定理：對直徑的圓周角恆為 \( 90^\circ \)。因此，\( E, M_2 \) 兩點必然落在以 \( \overline{M_1 D} \) 為直徑的圓上。
  同理可得，\( F, M_3 \) 兩點亦落在 \( \overline{M_1 D} \) 為直徑的圓上。

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垂足是如何「加入」九點圓的？

在前一部分中，我們已經優雅地證明了 \( \overline{M_1 D} \) 是這個圓的直徑。

現在，我們要利用這個最強大的幾何性質，把剩下的三個垂足點也收編進來。

【證明過程：垂足的必然性】

我們以底邊的垂足 \( H_1 \) 為例進行論證：

1. 觀察直徑與垂足的夾角

• 已知 \( \overline{M_1 D} \) 是我們證出的九點圓直徑。
• 觀察點 \( H_1 \) 的定義：它是頂點 \( A \) 到對邊 \( \overline{BC} \) 的垂足。
• 因此，根據定義，線段 \( \overline{AH_1} \perp \overline{BC} \)。

2. 直角結構的呈現

• 因為 \( H_1 \) 位在直線 \( \overleftrightarrow{BC} \) 上，而 \( M_1 \) 是 \( \overline{BC} \) 的中點，
  所以 \( \overline{M_1 H_1} \) 就在底邊這條直線上。
• 又因為 \( D \) 位在垂線 \( \overline{AH_1} \) 上（因為 \( D \) 是 \( \overline{AH} \) 的中點）。
• 這意味著，線段 \( \overline{DH_1} \) 本身就是高線 \( \overline{AH_1} \) 的一部分。
• 既然 \( \text{高線} \perp \text{底邊} \)，那麼必然有： \[ \overline{DH_1} \perp \overline{M_1 H_1} \]

3. 圓周角定理的最後一擊

• 在 \( \triangle{DM_1 H_1} \) 中，\( \angle{DH_1 M_1} = 90^\circ \)。
• 根據圓周角定理的逆定理：若一個點對一線段的張角為 \( 90^\circ \)，則該點必落在以該線段為直徑的圓上。
• 結論：既然 \( \overline{M_1 D} \) 是直徑，且 \( \angle{DM_1 H_1} = 90^\circ \)，那麼垂足 \( H_1 \) 必然落在這個九點圓上。

這個證明的精妙之處在於，我們完全不需要去計算 \( H_1 \) 的座標。
只要我們確認了「直徑」是誰，所有的垂足都會因為那道天然的 90° 直角，被物理定律般地吸附到圓周上。

這就是九點圓的終極魅力：

1. 矩形性質：找出了三邊中點與垂心中點（共 6 點）。
2. 直徑性質：透過直角將三垂足（共 3 點）納入圈子。

三組看似性質不同的點，最後卻因為「垂直」與「中點」這兩個純粹的幾何特徵，
匯聚成了同一個完美的圓。

結論

這道題目展現了解析幾何化直觀為運算的威力。
我們不需要死背公式，只需緊抓中點對稱與垂直斜率這兩個工具。

• 代數與幾何的交會：利用中點公式 \( 2 \times M – H \) 與垂直斜率相乘為 \( -1 \) 的特性，
  可以在座標平面上精確還原頂點。
• 變換的本質：九點圓實質上是外接圓以垂心 \( H \) 為中心，進行倍率為 \( \frac{1}{2} \) 的位似縮放。
• 秩序的體現：九點共圓不是巧合，而是三角形垂直結構在縮放之後的必然結果。

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