在所有高中數學單元裡，
「排列組合與機率」大概是最容易讓人一頭霧水的主題之一。
教書二十多年來，我發現有不少學生就是從這個部分開始補習。
但是有趣的是，也有另一批學生，從排列組合開始，
數學成績特別好。
為什麼會有這個差異？
我想主要原因是，思考方式的不同。
我們知道，數學有很多分支，大致上可分為：分析、幾何、組合數學。
分析學關注的是「連續變化的量」——
而函數正是描述變化最核心的工具。
所以只要是與「函數的性質、變化、極限、導數、積分」有關的內容，
不論是多項式、三角、指數、或對數函數，
都屬於分析學研究的對象。
排列組合歸屬於「組合數學（Combinatorics）」這個分支。
組合數學研究的是「在離散情境下，東西可以有多少種不同的排列或組合方式」。
它不強調連續變化，也不談面積或斜率，
而是問：「在有限的條件中，有多少種可能？」
因為思考方式的不同，
所以有些同學在「多項式」、「三角函數」、「指對數函數」這些單元學得還不錯，
可是學習「排列組合」時會感到有些困擾。
這是很自然的現象。
前面幾個單元——多項式、三角、指對數——都屬於分析學的範疇，
它們強調的是「連續變化」與「代入計算」，
學生只要理解公式、熟練代數操作，就能掌握規律。
但「排列組合」屬於組合數學，
這一領域的特徵是「離散」與「分類」。
這裡沒有連續的曲線，也沒有可代的公式，
而是要求你從題目的條件中，
分析事件的結構、拆解情境、並有系統地數出所有可能。
對於習慣以「公式代入」方式思考的學生來說，
這樣的轉換就像突然被要求「用邏輯去數東西」，
一開始當然會覺得抽象、甚至不知從何下手。
接下來，我們以這道題為例，來分析排列組合的思考方式：
在一排有 20 張椅子的座位區中，要安排甲、乙、丙、丁、戊 5 人入坐，每人坐一張椅子。
第 1 張與最後 1 張椅子不能入坐，且相鄰的 5 張椅子中至少要有一人入坐，
且任兩人不能坐在相鄰的椅子上。
問共有多少種不同的坐法？
同學們不妨自己先試試看，再接著看以下的分析。
這道題的精華在於「限制條件的轉換」，
一旦把條件結構化，整題就會變得非常有邏輯。
一、範圍調整：排除首尾座位
第 1 張與第 20 張椅子不能坐人，
所以實際可用的椅子為第 2 到第 19 張，
共 18 張椅子 可選。
二、「任兩人不相鄰」的條件
這表示每兩位之間至少要隔一張空椅子。
這類問題的標準做法是「間隔法」或「虛擬隔板法」。
假設 5 個人都坐下，
他們之間至少需要 4 張空椅子作為間隔，
因此這 9 張（5人 + 4 間隔）是最少佔據的座位數。
剩下\(18−9=9\) 張椅子可以自由分配在六個空隙中（最前、最末、以及五人之間的四個間隔）。
分配方式為何？
如果你有學過重複組合，可直接寫成 $$H(6,9) = C(6+9-1, 9) = 2002 $$
如果沒學過，也可以想成，將 9 張椅子分成 6 堆，那麼須要有 5 個隔板將椅子隔開，
9 張椅子、5 個隔板的排列方式就是 \(C(14,9) = 2002\)。
三、「相鄰的 5 張椅子至少要有一人入坐」的條件
這是這題最關鍵的附加限制。
它的意思是：不能出現「連續 5 張空椅子」。
換句話說，任何兩位相鄰入坐的人之間的空椅子數量，最多只能是 4。
四、思考結構：避免 5 個以上空位的間隔
前面計算的 \(C(14,5)\) 包含所有「不相鄰」的情況，
但其中部分情況會出現「間隔 ≥ 5」的情形，需要扣除。
目前五個人以及將其隔開的六張椅子排列方式如下：
X __ 人 __ 人 __ 人 __ 人 __ 人 __ X
兩人之間先以1張椅子隔開，接著再將剩下的 9 張椅子放入空隙中。
每一個空隙目前已有1張椅子，要避免放入4張(含)以上的椅子。
這可以用「取捨原理」處理：
先扣除有一個空隙至少5張椅子的情形，再加回來有兩個空隙至少5張椅子的情形。
$$H(6,9) – C(6,1)H(6,5) + C(6,2)H(6,1) = 2002 – 6\times 252 + 15 \times 6 = 580$$
最後，再考慮五個人的排列數 \(5!\)，$$580\times 5! = 69600$$
思維重點總結
這道題不只是考你會不會套公式，
而是考你能不能把語言條件轉成可操作的數學結構。
學這類題目的過程中，最重要的能力是：
1️⃣ 能「看懂條件」背後的數學意義（例如「不相鄰」＝間隔至少 1）
2️⃣ 能把問題轉換為「分配模型」（隔板法、間隔法、補數法）
3️⃣ 用邏輯分析避免重算或遺漏（像「5張椅子中至少一人入坐」的限制）
會這樣思考後，
排列組合題就不再是死背公式的題型，
而是一次次「邏輯思考的訓練」。
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