這週，高中數學第二冊，我們進入到了數列的世界。
學生上課時問說，數列好像只是一直在做計算，
有什麼特別的意義嗎？為什麼要學這個？

這個問題問得太好了。
因為如果我們不知道學數列的理由，
那麼所有的公式、通項、遞迴，
就都只是毫無生命的符號。

在歷史上，數列這樣的概念是如何成型的？

故事一：從兔子開始的冒險

十三世紀的義大利，有位數學家叫 費波那契（Fibonacci）。
他寫了一本書叫《算術之書》（Liber Abaci），
裡面提出了一個可愛又深刻的問題：

一對兔子每月生一對新兔子，
新兔子兩個月後也開始生，
問一年後共有幾對兔子？

為了算出答案，
費波那契看到了這樣的規律：

第一個月 1 對，第二個月 1 對，第三個月 2 對，第四個月 3 對……
他發現每個月的兔子數，就是前兩個月的和。$$F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}, \ F_{1}=F_{2}=1$$
這就是我們今天熟悉的——費波那契數列，簡稱「費氏數列」

看起來只是一串數字，
但它後來出現在花瓣的分佈、向日葵的旋轉、貝殼的螺線裡。
數列不只是數字的遊戲，而是世界運行的節奏。

這種由前幾項寫出第 \(n\) 項的表示法，稱為「遞迴關係式」，
也是同學在國中沒有學過的部份。

故事二：歐拉與「自我生成」的世界

兩百多年後，數學巨人 歐拉（Euler）
開始研究各種數列的「自我規律」。

他觀察到：
有些數列的每一項，
其實都可以由前一項「遞迴」生成。
例如我們學過的等差數列：
每一項比前一項多一個固定的差 $d$，$$a_{n+1}=a_{n}+d, \ a_1=a$$

只要知道起點與差，整串數列就能自己長出來。

又比如等比數列：
每一項是前一項乘上一個固定的比 $r$，$$a_{n+1}=ra_n, a_1=a$$
這看起來簡單，卻是「複利」與「成長」最原始的數學模型。

歐拉在十八世紀，正是從這些簡單的關係式開始，
去研究更複雜的「自我產生世界」——
那些每一項都依循前一項規律誕生的結構，
後來成為電腦科學與自然科學中最深的思想基礎：遞迴（recursion）。

數列，其實是模式的語言

當你理解數列，你不只是學「第 \(n\) 項是什麼」，
而是在訓練一種「找出規律」的能力。

你會開始問：
「這個現象有沒有週期？規律會持續多久？
我能不能用前面的資訊預測後面？」

物理學、經濟學、人工智慧……
所有能預測、能學習的系統，
背後都藏著一條或多條「數列」。

你想預測股票？那是時間序列。
你想訓練 AI？那是遞迴網路。
你想理解宇宙的演化？那是方程與遞迴的結合。

所以，如果用簡單一句話說明為什麼學習數列，
我認為，是為了學會觀察變化中的規律。

那麼，故事說完了，接下來我們動手來看看這道題

剛剛我們聊到，
歐拉、費波那契這些數學家，
都在研究「如何由前一項生成下一項」。

現在，我們也要來體驗一次。

題目是這樣的：

已知各項皆為正整數的數列\(<a_n>\)的前\(n\)項和為\(S_n\)且對任意正整數\(n\)，$$\sqrt{S_n}=\lambda(a_n-1)+1$$其中\(\lambda\)為正實數。若 \(2a_2=a_1+a_3\)，試求：數列 \(<a_n>\) 的一般項。

從遞迴關係式寫出一般項，
是學數列時非常重要的一個練習。

有時候，我們會先寫出數列的前幾項，
試著觀察它的變化，猜測出可能的規律。

接著，我們再用數學歸納法來驗證：
這真的能延伸下去嗎？
也就是說，我們要證明這個規律對所有 \(n\) 都成立。

這個過程，其實就像是「從實驗到理論」的縮影。
前幾項，是你的實驗觀察；
歸納法，則是你的理論驗證。

當你能把「猜」變成「證明」，
那一刻，你就不只是會算題的學生，
而是開始用數學家的方式在思考了。

當然，有時候我們不一定要猜。
而是可以選擇正面對決——
直接從遞迴關係式下手，
做一些代換、整理與化簡，
把隱藏在公式裡的規律挖出來。

例如我們知道\(a_n=S_n-S_{n-1}\)，而題目又給了$$\sqrt{S_n}=\lambda(a_n-1)+1$$只要勇敢一點，直接代進去整理、化簡，
你會發現數列的規律會自己浮現出來。

這一題的關鍵在於，\(\lambda\) 的值要先找出來，再進行下一步。

由$$\sqrt{S_n}=\lambda(a_n-1)+1$$可得$$\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}=\lambda((a_2-a_1)$$ 並且由 \(2a_2=a_1+a_3\) 可知 $$a_2-a_1=a_3-a_2:=d$$結合以上兩式可知

$$\Large \sqrt{S_{2}}-\sqrt{S_{1}}=\lambda(a_{2}-a_{1})=\lambda(a_{3}-a_{2})=\sqrt{S_{3}}-\sqrt{S_{2}}\small$$

將上式移項整理可得

$$\Large 2\sqrt{S_{2}}=\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{3}}$$

等號兩邊平方，再代入 \(2a_2=a_1+a_3\)可得

$$\Large 4S_{2}=S_{1}+S_{3}+2\sqrt{S_{1}S_{3}}=2a_{1}+a_{2}+a_{3}+2\sqrt{a_{1}(a_{1}+a_{2}+a_{3})}$$

接著將 \(S_2=a_1+a_2=2a_1+d\) 代入上式，然後將式子的每一項以首項與公差表示，化簡可得

$$\Large 4(2a_{1}+d)=4a_{1}+3d+2\sqrt{a_{1}(3a_{1}+3d)}$$

移項，然後同時平方去掉根號：

$$\Large (4a_{1}+d)^{2}=4a_{1}(3a_{1}+3d)$$

展開整理可得

$$\Large 4a_{1}^{2}-4a_{1}d+d^{2}=0$$

此式剛好是完全平方式：

$$\Large (2a_{1}-d)^{2}=0$$

此時可得

$$\Large S_{1}=a_{1}=\frac{1}{2}d,\ S_{2}=a_{1}+a_{2}=2a_{1}+d=4a_{1},\ S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=9a_{1}$$

$$\Large \lambda=\frac{\sqrt{a_{1}}-1}{a_{1}-1}=\frac{\sqrt{S_{2}}-1}{a_{2}-1}$$

等號左式有理化分母，等號右式以首項 \(a_1\) 表示：

$$\Large \frac{1}{\sqrt{a_{1}}+1}=\frac{\sqrt{4a_{1}}-1}{3a_1-1}$$

將以上式子重新整理可得 $$a_1=\sqrt{a_1}$$ 解得 $$a_1=1$$ 因此

$$\Large \lambda=\frac{\sqrt{4a_{1}}-1}{3a_{1}-1}=\frac{1}{2}$$

回到原本的遞迴關係式

$$\Large \sqrt{S_{n}}=\frac{1}{2}(a_{n}-1)+1$$

移項整理：

$$\Large a_{n}=2\sqrt{S_{n}}-1$$

將 \(a_n=S_n-S_{n-1}\) 代入上式可得

$$\Large S_{n}-S_{n-1}=2\sqrt{S_{n}}-1$$

再移項分類：

$$\Large S_{n}-2\sqrt{S_{n}}+1=S_{n-1}$$

等號左式為完全平方式：

$$\Large (\sqrt{S_{n}}-1)^{2}=S_{n-1}$$

將等號左右兩邊開根號，並且移項可得：

$$\Large \sqrt{S_{n}}-\sqrt{S_{n-1}}=1$$

因此

$$\Large \sqrt{S_{n}}=\sqrt{S_{1}}+(n-1)=1+(n-1)=n$$

$$\Large S_{n}=n^{2}$$

$$\Large a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-(n-1)^{2}=2n-1$$

這題走完，你其實完成了數列最核心的功夫：
從遞迴關係式聽見規律 → 寫出一般項看見全貌。

帶走三件事就夠了：

1.兩條路都要熟

直接「正面對決」遞迴式 → 代換、整理、化簡，一次看穿骨架

觀察前幾項 → 猜測規律 → 數學歸納法驗證

2. 抓住真正的轉捩點

這題的關鍵不是盲算 \(S_n\)，而是先用 \(2a_2=a_1+a_3\) 察覺等差結構，然後反代回關係式，
先找出 \(\lambda\)，後面自然水到渠成。

3. 把方法變成習慣

每遇到「總和 ↔ 單項」或「前後項互相牽制」的題目：

先寫出 \(a_n = S_n – S_{n-1}\) 這個基本關係式，
接著尋找「平均」、「等差/等比」等結構訊號，
然後決定走「猜測+歸納」或「直接推導」哪條路更快。

最後想留一句話給你：
遞迴是關係，一般項是全貌。
會從關係看出全貌的人，不只會算題，也會看懂變化中的世界。

下次我們把這份直覺再推進一步——
試試更多「由自己產生自己」的數列，看看還能長出哪些漂亮的規律。

這篇文章就先寫到這邊，希望對你會有所啟發。

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