先複習一下：什麼是 Cauchy–Schwarz 不等式？

在高中數學第三、四冊，平面與空間向量單元裡，我們學到了這個經典的不等式：$$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})\ge (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}$$ 這就是 Cauchy–Schwarz 不等式（中譯柯西－施瓦茨不等式）。

它的精神是：兩個向量的內積大小，永遠不會超過它們長度的乘積。

換句話說，$$|\overset{\rightharpoonup }{a}\cdot\overset{\rightharpoonup }{b}|\le |\overset{\rightharpoonup }{a}||\overset{\rightharpoonup }{b}|$$

等號成立，代表這兩個向量「平行」。

代入坐標來看，就是：$$\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}$$

這個看似單純的不等式，卻是許多數學題目背後的關鍵武器。
不論是幾何、代數，甚至物理、統計，
只要出現「平方和」、「內積」或「平均」的結構，它往往就藏在那裡。

一道題引發的思考

在三角形\( ABC \) 內取一點 \(P\)，設它到三邊\(a_1, a_2, a_3\)的距離分別為 \(r_1, r_2, r_3\)，

若外接圓半徑為 \(R\)，試證：$$\sqrt{r_{1}}+\sqrt{r_{2}}+\sqrt{r_{3}}\le \sqrt{\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{2R}}$$

看似一題幾何問題，實際上卻蘊含著向量內積的結構。

我們用面積公式連結距離與半徑，

最後便能化為 \((\sqrt{r_{1}},\sqrt{r_{2}},\sqrt{r_{3}})\)、\((\frac{1}{\sqrt{a_{1}}},\frac{1}{\sqrt{a_{2}}},\frac{1}{\sqrt{a_{3}}})\) 兩個向量的關係。

此時，Cauchy–Schwarz 不等式 出場，就能立即得到題目中的不等式結果。

解題思路

由面積公式：$$A=\frac{1}{2}(a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+a_{3}r_{3})$$ 而三角形的面積亦可表示為 $$A=\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{4R}$$
因此可得$$a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+a_{3}r_{3}=\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2R}\tag{1}$$
轉化為向量形式，令 $$\overset{\rightharpoonup }{a}=(\sqrt{a_{1}r_{1}},\sqrt{a_{2}r_{2}},\sqrt{a_{3}r_{3}}), \overset{\rightharpoonup }{b}=(\frac{1}{\sqrt{a_{1}}},\frac{1}{\sqrt{a_{2}}},\frac{1}{\sqrt{a_{3}}})$$
根據 Cauchy–Schwarz 不等式：$$|\overset{\rightharpoonup }{a}\cdot\overset{\rightharpoonup }{b}|\le |\overset {\rightharpoonup}{a}||\overset{\rightharpoonup }{b}|$$代入可得：

$$\sqrt{r_{1}}+\sqrt{r_{2}}+\sqrt{r_{3}}=\overset{\rightharpoonup }{a}\cdot\overset{\rightharpoonup }{b}\le |\overset {\rightharpoonup}{a}||\overset{\rightharpoonup }{b}|=\sqrt{a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+a_{3}r_{3}}\cdot\sqrt{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}}\tag{2}$$ 要注意等號成立的條件：$$\frac{\sqrt{a_1r_{1}}}{\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}}=\frac{\sqrt{a_{2}r_{2}}}{\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}}=\frac{\sqrt{a_{3}r_{3}}}{\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}}$$
整理可得 $$a_{1}^{2}r_{1}=a_{2}^{2}r_{2}=a_{3}^{2}r_{3}$$ 回到第(2)式，導入\(\Delta{ABC}\) 的面積\(A\)：將第(1)式代入第(2)式 $$\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2R}\cdot\frac{a_{2}a_{3}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{2}}{a_{1}a_{2}a_{3}}\ge (\sqrt{r_{1}}+\sqrt{r_{2}}+\sqrt{r_{3}})^{2}$$

整理可得 $$\sqrt{r_{1}}+\sqrt{r_{2}}+\sqrt{r_{3}}\le \frac{1}{2R}\sqrt{(a_{2}a_{3}+a_{3}a_{1}+a_{1}a_{2})}\tag{3}$$
再用一次 Cauchy Schwarz 不等式：$$a_{2}a_{3}+a_{3}a_{1}+a_{1}a_{2}\le \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{a_{3}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$$
不等式右側為 $$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$$ 代回第(3)式 $$\sqrt{r_{1}}+\sqrt{r_{2}}+\sqrt{r_{3}}\le \frac{1}{\sqrt{2R}}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})^{\frac{1}{2}}$$ 綜合以上，可知等號成立的條件為 $$a_{1}^{2}r_{1}=a_{2}^{2}r_{2}=a_{3}^{2}r_{3}, a_1=a_2=a_3$$
即 $$a_1=a_2=a_3, r_1=r_2=r_3$$ 因此當三角形 \(ABC\) 為正三角形且點 \(P\) 為內心時，不等式取等號成立。

數學家的靈光一閃

這一招，來自 19 世紀的數學天才——奧古斯丁・路易・柯西（Augustin-Louis Cauchy）。
他生活在法國巴黎，是拿破崙時代的工程師與數學家，
一生寫下超過八百篇論文，幾乎改寫了整個近代數學。

後來，德國數學家 Schwarz 把他的結果推廣成更一般的形式，
因此這個不等式也成了兩人的聯名作。
今天我們在課本裡看到的版本，就是他們思考的結晶。

等號的祕密

然而，許多學生在使用這個不等式時，常常忘記一個最重要的細節——
等號什麼時候成立？

Cauchy–Schwarz 不等式不只是運算技巧，
它教我們在比較中尋找關聯，在差異中尋找對稱。
下次再用它解題時，
別急著畫上 Q.E.D.，
先想想——「什麼時候，它能剛好變成等號？」

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