國中時，我們學的所有數，無論是整數、分數、根數、圓周率…都是實數。
但是，有一種數，卻在我們的實數世界中「找不到」，那就是──虛數。

虛數到底是什麼？

看看這個例子 $$x^2+1=0$$ 國中時我們學到的任何數的平方不可能是負數。
但並非這個數不存在，而是現階段還沒遇到。

歷史上，大約在1545年，數學家卡丹諾於 $1545$ 年出版的《大技術》一書中提到
一個問題：找出兩個數，使得他們的和為$10$ 且積為 $40$。

用符號來寫就是：找出兩數 $a$、$b$ 使得 $$a+b=10, ab=40$$ 可解得此兩數為 $$5\pm \sqrt{-15}$$ 根號內怎麼會有負數？卡丹諾認為，這只是無意義的智力遊戲。

如果從另一個觀點來看呢？

十七世紀初葉時，笛卡兒指出，想要找出圓與直線的交點時，必須解二次方程式，
這個在我們高中的課堂上並不陌生。

試問：圓 $x^2+y^2=1$ 與 直線 $L: x-y=2$ 的交點個數是多少？

我們可以直接計算圓心 $O(0,0)$ 與 $L$ 的距離為 $$d(O,L) = \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}>1$$
也就是說，圓心與直線的距離大於半徑，此圓與直線不相交，交點個數為 $0$。

以代數計算，令 $y=x-2$ 代入圓方程式可得 $$x^2+(x-2)^2=1$$ 展開可得 $$2x^2-4x+3=0$$ 當使用公式解時，會得到負數平方根。
也就是無實數解。

「圓與直線沒有交點」與「二次方程式無實數解」是同個意思。
這在數學上稱做幾何與代數的對應關係。

有些同學初學時不易理解，或者容易忽略這種幾何與代數的微妙關係。

另外，卡丹諾利用三次方程式 $x^3+px+q=0$ 的公式解 $$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$ 得出三個解為
$$\begin{aligned} x_1 &= u+v \\ x_2 &= \omega u + \omega^2 v \\ x_3 &= \omega^2 u + \omega v \end{aligned}$$

其中 $u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ , $v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$, $\omega = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

例如，解方程式 $$x^3=15x+4$$ 先移項再代公式 $$x^3-15x-4=0$$

得 $$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$

看起來沒有實數解。然而 $x=4$ 顯然是其中一根。

怎麼會這樣呢？

在他所熟悉的實數世界裡，這樣的東西根本「不存在」！

問題可能是出在 $\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}$ 與 $\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$ 這兩個虛數開立方根的化簡，
雖然兩數是虛數，但是因為為共軛複數，所以加起來後，虛部剛好互相抵消，
答案就變回了實數。

實際寫法如下： $$(2\pm\sqrt{-1})^3=2\pm\sqrt{-121}$$ 所以 $$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=(2+\sqrt{-1})+(2-\sqrt{-1})=4$$

換句話說，我們透過虛數的運算得出了實根。

這就像是你走進一片迷霧森林（虛數），
只有穿過霧中蜿蜒的道路，才能回到明亮的實數平原。

後來的數學家明白了一件事：

要完整解決三次、四次甚至更高次的方程式，
我們不能只待在實數世界，
我們必須承認虛數的存在。

有時候，為了解決實際的問題，
你必須勇敢走進看似不存在的世界。

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