在高中數學的平面向量（第三冊）與空間向量（第四冊）中，
我們學習過「不平行」的兩個向量可以組合出平面上所有的向量 。
然而，當我們進入更高維度的數據處理或聯立方程組時，
單純的「平行」概念已經不足以描述向量間複雜的關係。
本篇文章將補充高中教材中較少深入討論的線性相依（Linearly Dependent）
與線性獨立（Linearly Independent）的嚴謹定義 。
這不僅是大學線性代數的入門磚，更是理解矩陣運算核心邏輯的關鍵。
▋ 一、 直觀先行：向量的「功能重複」嗎？
想像你在玩一個走位遊戲，你有三個指令向量：
⤷ 前進 \( \vec{u_{1}} = (1, 0) \)
⤷ 右轉 \( \vec{u_{2}} = (0, 1) \)
⤷ 斜走 \( \vec{u_{3}} = (1, 1) \)
你會發現，指令 \( \vec{u_{3}} \) 其實是「多餘」的，
因為透過前兩個指令的組合就能達成目標 。在數學上，這稱為線性組合。
▍ 1. 線性組合 (Linear Combination)：給定一組向量 \( \vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \dots, \vec{u_{k}} \)，
若我們透過純量 \( a_{i} \) 將其加權相加 ： \[ \sum_{i=1}^{k} a_{i}\vec{u_{i}} = a_{1}\vec{u_{1}} + a_{2}\vec{u_{2}} + \dots + a_{k}\vec{u_{k}} \]
這個結果就稱為這些向量的一個線性組合 。
若一個向量 \( \vec{v} \) 可以寫成這種形式，我們就說 \( \vec{v} \) 線性相依於該向量集合 。
▋ 二、 嚴謹定義：零向量的組成挑戰
在數學史中，德國數學家格拉斯曼 (Hermann Grassmann) 在 19 世紀提出了向量空間的概念。
他試圖回答：一組向量要具備什麼條件，才能互不取代？
▍ 1. 線性相依 (Linearly Dependent)
若存在一組不全為 \( 0 \) 的係數 \( c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k} \)，
使得： \[ c_{1}\vec{u_{1}} + c_{2}\vec{u_{2}} + \dots + c_{k}\vec{u_{k}} = \vec{0} \]
則稱此集合為線性相依 。
⤷ 高中章節連結： 這對應到空間向量（第四冊）中「三向量共面」的判定 。
▍ 2. 線性獨立 (Linearly Independent)
反之，若要使上述等式成立，唯一的方法是所有係數皆為 \( 0 \)
（即 \( c_{1} = c_{2} = \dots = c_{k} = 0 \)），則稱此集合為線性獨立 。
▋ 三、 進階篇：邏輯轉換
以下定理是線性代數的核心轉折點：它將「抽象的方程式解」轉換成了「向量間的彼此關係」 。
定理內容： 一個包含至少兩個向量的集合是線性相依的，當且僅當其中至少有一個向量可以寫成其他向量的線性組合 。
▍ 定理證明解析：這是「若且唯若」的雙向證明 ：
▸ 方向一：已知線性相依 \( \Longrightarrow \) 必有向量可被組合
- 根據定義，存在不全為 \( 0 \) 的 \( a_{i} \) 使得 \( \sum a_{i}\vec{u_{i}} = \vec{0} \) 。
- 假設其中一個係數 \( a_{j} \neq 0 \) 。
- 移項得：\( a_{j}\vec{u_{j}} = -a_{1}\vec{u_{1}} – \dots – a_{k}\vec{u_{k}} \) 。
- 兩邊同除以 \( a_{j} \)，即可將 \( \vec{u_{j}} \) 表示為其餘向量的線性組合 。
▸ 方向二：已知某向量可被組合 \( \Longrightarrow \) 必為線性相依
- 若 \( \vec{u_{j}} = b_{1}\vec{u_{1}} + \dots + b_{k}\vec{u_{k}} \) 。
- 移項後：\( b_{1}\vec{u_{1}} + \dots + (-1)\vec{u_{j}} + \dots b_{k}\vec{u_{k}} = \vec{0} \) 。
- 由於 \( \vec{u_{j}} \) 的係數為 \( -1 \)（不為 \( 0 \)），符合線性相依定義 。
▋ 四、 實戰演練：矩陣與聯立方程組
當我們判定高維向量（如 \( R^{4} \)）是否獨立時，本質上是在解齊次方程組 。
➤ 範例： 判定 \( { (1, 1, 8, 1), (1, 0, 3, 0), (3, 1, 14, 1) } \) 是否獨立？
透過高中第四冊學到的「矩陣列運算」，我們可以將方程組化簡： \[ \begin{cases} c_{1} + c_{3} = 0 \\ c_{2} + 2c_{3} = 0 \\ 0 = 0 \end{cases} \]
由於 \( c_{3} \) 可以是任意數 ，存在非零解，故此組向量為線性相依 。
▋ 五、 學習方法：從「九宮格」建立直覺
學習線性代數時，建議學生建立一個「心理錨點」。
▸ 九宮格思考法：
將 3 個向量想像成 3 條坐標軸。
⤷ 若它們能撐起一個 3D 的空間（體積不為 \( 0 \)），它們就是線性獨立。
⤷ 若它們只能鋪平在一個面上（體積為 \( 0 \)），它們就是線性相依。
≫ 「線性相依」 \( \Longleftrightarrow \) 「有人可以被取代」 ≪
▋ Gim 老師的學習悄悄話
同學在接觸「線性相依」與「線性獨立」這些名詞時，
感到抽象是完全正常的。這正是數學從「計算」跨越到「論證」的一個重要轉折點。
數學史上的大師們，如格拉斯曼，並非一開始就想出這些複雜的定義，
而是為了更簡潔地描述這個世界的運作規律 。
當你發現可以用一個簡單的方程式 \( \sum c_{i}\vec{u_{i}} = \vec{0} \) 來判定一群向量的關係時 ，
這就是數學的力量。
不要害怕證明的過程。
上述定理的證明其實只是一個簡單的移項遊戲 ，
但它背後代表的邏輯轉換——將「靜態的定義」變成「動態的取代關係」——才是最迷人的地方。
下次遇到卡關時，試著畫出圖形，想像那些向量在空間中跳舞。
只要你願意花時間去感受空間的維度，
數學就會從生冷的符號變成你指尖上的魔法。加油！
